No último post o Fenrir colocou o Paradoxo de Russell, este foi um problema lógico que Russell encontrou ao analisar a obra de Gottlob Frege, na qual tentava provar os fundamentos da aritmética usando a teoria dos conjuntos, a obra já estava para ser impressa, depois de longos 9 anos de trabalho, mas por causa deste erro de lógica (que não tinha solução) a obra de Frege não pode ser impressa. E o problema lógico ficou sem solução...
Até que em 1931 Kurt Gödel mostrou com o teorema da incompletude que o problema realmente não tinha solução devido à própria limitação da lógica clássica.
Eu já dei uma olhada "por cima" num livro que continha o teorema da incompletude, o troço é bem complexo, é pior do que Cálculo Diferencial e Integral .
Segue alguns links e parte dos artigos:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Russell Paradoxo de RussellO paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que prova que a teoria de conjuntos de Cantor e Frege é contradictória. Considere-se o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm a si próprios como membros". Formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.
No sistema de Cantor, M é um conjunto bem definido. Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição. Por outro lado, supondo que M não se contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.
No sistema de Frege, M corresponde ao conceito não recai no conceito da sua definição. O sistema de Frege também conduz a contradições: de que há uma classe definida por este conceito, que recai no conceito da sua definição apenas no caso de não recair.
Gottlob FregeFriedrich Ludwig Gottlob Frege (8 de Novembro de 1848, Wismar, Mecklenburg-Schwerin, Alemanha - 26 de Julho de 1925, Bad Kleinen, Mecklenburg-Vorpommern, Alemanha) foi um matemático, lógico e filósofo alemão.
Trabalhando na fronteira entre a filosofia e a matemática, Frege foi o principal criador da lógica matemática moderna, sendo considerado, ao lado de Aristóteles, o maior lógico de todos os tempos.
Estudou nas universidades de Jena e Göttingen e tornou-se professor de Matemática em Jena, onde lecionou primeiro como docente e, a partir de 1896, como catedrático, onde permaneceu até sua morte. Em 1879 publicou Begriffsschrift (1879, Ideografia (Ideography) é uma tradução sugerida em carta pelo próprio autor, outra opção seria Notação Conceptual), onde, pela primeira vez, se apresentava um sistema matemático lógico no sentido moderno.
Em parte incompreendido por seus contemporâneos, tanto filósofos como matemáticos, Frege prosseguiu seus estudos e publicou, em 1884, Die Grundlagen der Arithmetik (Os Fundamentos da Aritmética), obra-prima filosófica que, no entanto, sofreu uma demolidora crítica por parte de Georg Cantor, justamente um dos matemáticos cujas idéias se aproximavam mais das suas. Em 1903 publicou o segundo volume de Grundgesetze der Arithmetik (Leis básicas da Aritmética), em que expunha um sistema lógico no qual seu contemporâneo e admirador Bertrand Russell encontrou uma contradição, que ficou conhecida como o paradoxo de Russell. Esse episódio impactou profundamente a vida produtiva de Frege. O grande contributo de Frege para a lógica matemática foi o criação de um sistema de representação simbólica (Begriffsschrift, conceitografia ou ideografia) para representar formalmente a estrutura dos enunciados lógicos e suas relações, e a contribuição para a implementação do cálculo dos predicados. Esse parte da decomposição funcional da estrutura interna das frases (em parte substituindo a velha dicotomia sujeito-predicado, herdada da tradição lógica Aristotélica, pela oposição matemática função-argumento) e da articulação do conceito de quantificação (implícito na lógica clássica da generalidade), tornado assim possível a sua manipulação em regras de dedução formal. (As expressções "para todo o x", "existe um x", que denotam operações de quantificação sobre variáveis têm na obra de Frege uma de suas origens).
Ao contrário de Aristóteles, e mesmo de Boole, que procuravam identificar as formas válidas de argumento, e as assim chamadas "leis do pensamento", a preocupação básica de Frege era a sistematização do raciocínio matemático, ou dito de outra maneira, encontrar uma caracterização precisa do que é uma “demonstração matemática”. Frege havia notado que os matemáticos da época freqüentemente cometiam erros em suas demonstrações, supondo assim que certos teoremas estavam demonstrados, quando na verdade não estavam. Para corrigir isso, Frege procurou formalizar as regras de demonstração, iniciando com regras elementares, bem simples, sobre cuja aplicação não houvesse dúvidas. O resultado que revolucionou a lógica foi o desenvolvimento do cálculo de predicados (ou lógica de predicados).
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege Kurt Gödel (Brünn, Áustria-Hungria[1], 28 de Abril de 1906 — Princeton, EUA, 14 de Janeiro de 1978) foi um matemático austríaco, naturalizado americano, cujo trabalho mais famoso é o Teorema da Incompletude, o qual afirma que qualquer sistema axiomático suficiente para incluir a aritmética dos números inteiros não pode ser simultaneamente completo e consistente. Isto significa que se o sistema é auto-consistente, então existirão proposições que não poderão ser nem comprovadas nem negadas por este sistema axiomático. E se o sistema for completo, então ele não poderá validar a si mesmo — seria inconsistente.
Teorema da Incompletude de Gödelhttp://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_incompletude_de_G%C3%B6del O teorema da incompletude de Gödel, às vezes também designado por teoremas da indecidibilidade, é o nome atribuído a dois resultados demonstrados por Kurt Gödel:
• Teorema 1: "Se o conjunto axiomático de uma teoria é consistente, então nela existem teoremas que não podem ser demonstrados (ou negados)" e
• Teorema 2: "Não existe procedimento construtivo que demonstre que determinada teoria é consistente".
A primeira proposição indica que a "completude" de uma teoria axiomática não pode ser alcançada; a segunda diz que não há garantia de que não surjam eventuais inconsistências (não afirma que elas existam - apenas não se pode decidir). A consistência só poderia ser demonstrada a partir de uma teoria mais geral, a qual necessitaria de outra ainda mais ampla e assim por diante, ad infinitum.
Essas duas proposições, aparentemente simples, tiveram profunda repercussão no pensamento científico da época.
O resultado foi devastador para uma abordagem filosófica à matemática conhecida como Programa de Hilbert. David Hilbert propôs que a consistência de sistemas mais complexos, como análise real, poderiam ser provados em termos de sistemas mais simples. Assim, a consistência de toda a matemática seria reduzida à aritmética básica. O segundo teorema da incompletude de Gödel mostra que a aritmética básica não pode ser usada para provar sua própria consistência, portanto não pode ser usada para provar a consistência de nada mais forte.
No fim do século XIX a filosofia do conhecimento era considerada um bloco monolítico e muitos intelectuais da época consideravam que haveria pouca coisa fundamentalmente nova a ser descoberta. No Congresso Internacional de Matemática de Paris, em 1900, o jovem e genial David Hilbert, imbuído das idéias correntes, apresentou um surpreendente trabalho resumindo as 23 questões ainda "em aberto", as quais, após resolvidas, completariam todo o escopo da matemática.
Hilbert pretendia, como de fato foi parcialmente conseguido, desencadear um esforço geral da comunidade científica a fim de completar a fundamentação lógica da matemática. Nos poucos anos que se seguiram a maior parte das questões por ele propostas foram adequadamente resolvidas.
Em 1931, quando ainda vigorava a proposta de Hilbert de obter a completa construção da teoria matemática através da lógica formal, Gödel publicou o seu trabalho "Sobre as Proposições Indecidíveis", pondo fim a essa expectativa. Na Universidade de Princeton, o prestigiado Neumann, que trabalhava com afinco na proposta de Hilbert, imediatamente mergulhou nos trabalhos de Gödel, dando-lhe grande apoio.
Paralelamente, na Física, estava em pleno andamento o desenvolvimento da teoria quântica e quatro anos antes (1927) Heisenberg já divulgara seu "principio da incerteza", colocando um limite físico na experimentação microscópica direta. Foi mais um golpe nas hipóteses determinísticas da ciência.
Posteriormente, Church e Turing demonstraram que não há meios de provar se "uma proposição qualquer faz ou não parte de uma teoria".
Curiosamente, até 1963, nem Gödel nem qualquer outro matemático havia apresentado alguma proposição que ilustrasse os teoremas da indecidibilidade. Somente então o jovem Paul Cohen, de Stanford, desenvolveu uma técnica para teste de proposições indecidíveis. Cohen mostrou que a hipótese do continuum, justamente uma das questões fundamentais da matemática, era indecidível.
Tópico: Perguntas bizarras (Lida 2307 vezes)