Pessoal,
Lendo o livro do Ribenboim, encontrei relações descobertas por Barlow em 1810 e 1811. Brincando com essas relações, cheguei a outras as quais apliquei congruência e gostaria da opinião daqueles que conhecem um pouco de matemática.
Para ler melhor, ver no blog que criei :
http://filosofbeer.blogspot.com.br/2015/04/o-ultimo-teorema-de-fermat-as-relacoes.htmlIntrodução
Quase sempre, nas abordagens realizadas ao problema, consideram-se x,y e z como sendo números inteiros. Porém, podemos analisar esta equação, somente para x,y e z naturais, pois caso uma ou duas das variáveis sejam negativas, basta trocá-la(s) de lado na equação para termos, novamente, x,y e z naturais. Se todas são negativas, basta multiplicarmos a equação por -1.
Da equação do Último Teorema de Fermat xn + yn = zn, temos as seguintes condições, relacionado os números x,y e z, para que existam soluções inteiras primitivas para esta equação :
(1) z>y>x
(2) z<x+y
(3) mdc(x,y,z)=1
Além das condições acima, x,y e z não podem ser todos pares ou ímpares e, só é necessário analisarmos as soluções para n primo maior ou igual a 3.
2. Relações de Barlow
Em 1810 e 1811 Barlow (ver Paulo Ribemboim - Last Fermat Theorem for Amateurs, pg98) demonstrou as seguintes relações envolvendo as possíveis soluções inteiras da equação do Último Teorema de Fermat: temos que se x (par),y(impar) e z(impar) são inteiros, e são soluções da equação xn+yn=zn, com n primo maior ou igual a 3, então
1) Caso 1 do UTF - n não divide xyz :
z-x=y0n,
zn-1+zn-2x+....zxn-2+xn-1 = y1n
y = y0y1
z-y= x0 n
zn-1+zn-2y+....zyn-2+yn-1 = x1n
x = x0x1, onde x0 é par.
x+y=z0n
xn-1-xn-2y+....-xyn-2+yn-1 = z1n
z = z0z1
Demonstração :
xn=zn - yn
xn= (z - y)(zn-1+zn-2yn .....+znyn-2+yn-1)
A soma zn-1+zn-2yn .....+znyn-2+yn-1 possui n parcelas.
Supondo que mdc (z-y,zn-1+zn-2yn .....+znyn-2+yn-1) = a
z-y≡ 0 mod (a)
z ≡ y mod (a)
zn-1+zn-2y .....+zyn-2+yn-1≡ 0 mod (a)
zn-1+zn-1.....+zn-1+zn-1≡ 0 mod (a)
Com a soma possui n parcelas, então
nzn-1≡ 0 mod (a)
Como n não divide xyz e mdc (x,y,z)=1, então a=1, pois se a dividir zn-1 então a deverá dividir y, o que contraria a condição mdc (x,y,z)=1. Dessa forma, temos que
z-y = x0n
zn-1+zn-2y .....+zyn-2+yn-1= x1n
Analogamente, temos o mesmo para y e z. E o mesmo vale para o caso onde n divide xyz (no caso de n dividir um dos termos, o mdc entre os fatores será n)
Do sistema de equações :
z-x=y0n
z-y= x0 n
x+y=z0n
Temos que :
(5) z+x = z0n+ x0n
(6) z+y=z0n+ y0n
(7) y-x=y0n-x0n
(8) y0n-x0n=(y0-x0)(x0n-1+x0n-2y0+x0n-3y02...+x02y0n-3+x0y0 n-2+ y0n-1)
De (7) e (8), temos que mdc (y-x, x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1)= p
x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1≡ 0 mod (p)
y – x≡ 0 mod (p)
Substituindo os fatores x0 = (z-y)1/n e y0= (z-x)1/n:
[(z-y)n-1]1/n +[(z-y)n-2(z-x)]1/n +[(z-y)n-3(z-x) 2]1/n+...+[(z-y)2(z-x) n-3]1/n+[( z-y) (z-x) n-2]1/n +[(z-x) n-1]1/n ≡ 0 mod (p)
y ≡ x mod (p)
[(z-x)n-1]1/n +[(z-x)n-2(z-x)]1/n +[(z-x)n-3(z-x) 2]1/n+...+[(z-x)2(z-x) n-3]1/n+[( z-x) (z-x) n-2]1/n +[(z-x) n-1]1/n ≡ 0 mod (p)
[(z-x)n-1]1/n +[(z-x) n-1]1/n +[(z-x) n-1]1/n+...+[(z-x) n-1]1/n+[( z-x) n-1]1/n +[(z-x) n-1]1/n ≡ 0 mod (p)
Como a soma possui n parcelas, então :
ny0 n-1 ≡ 0 mod (p) e nx0 n-1 ≡ 0 mod (p), se substituirmos x por y na congruência
Ou seja, p divide nx0 n-1 e ny0 n-1 . Se p = 1, não temos inteiros que satisfaçam a equação, pois x0n-1+ x0n-2+x0n-3+...+ x02+ x0+ 1>1, caso z-x=1 e x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1> 1 caso z-x>1 ; se p divir x0 irá dividir y, o que contraria a condição mdc(x,y,z)=1. Se p = n, então temos que :
x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1= n
Como a soma x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1 = n possui n parcelas, e como x0>0 e y0>0, temos que ter, obrigatoriamente x0 = y0 = 1,caso contrário o valor dessa soma será sempre maior que n ou então, caso um deles seja 0 e o outro 1, z será igual a x ou y, e assim teremos uma solução primitiva do tipo (z, 0, z) ou (0, z , z). Dessa forma, se x0 = y0 = 1, teremos então :
z-x =1
z-y =1
De onde concluímos que x=y.
Essa solução, em números naturais, só será possível na solução primitiva (0,0,0), pois 21/n é irracional para qualquer n primo maior ou igual a 3.
Ou seja, não existem soluções naturais para a equação xn + yn = zn
2) Caso 2 do UTF - n divide z (sem perda de generalidade, o que será desenvolvido abaixo pode ser aplicado caso n divida x ou y):
z-x=y0n,
zn-1+zn-2x+....zxn-2+xn-1 = y1n
y = y0y1, onde mdc (y0 , y1) =1
z-y= x0 n
zn-1+zn-2y+....zyn-2+yn-1 = x1n
x = x0x1 , onde x0 par e mdc (x0 , x1) =1.
x+y= nkn-1z0n
xn-1-xn-2y+....-xyn-2+yn-1 = nz1n
z = nkz0z1 , onde mdc (z0 , z1) =1
Da mesma vorma temos :
z-x=y0n,
z-y=x0n
(9) y – x = y0n – x0n
(10) y0n-x0n=(y0-x0)(x0n-1+x0n-2y0+x0n-3y02...+x02y0n-3+x0y0n-2+ y0n-1)
De (9) e (10), temos que mdc (y-x, x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1)= q
x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1≡ 0 mod (q)
y – x≡ 0 mod (q)
Substituindo os fatores x0 e y0 :
[(z-y)n-1]1/n +[(z-y)n-2(z-x)]1/n +[(z-y)n-3(z-x) 2]1/n+...+[(z-y)2(z-x) n-3]1/n+[( z-y) (z-x) n-2]1/n +[(z-x) n-1]1/n ≡ 0 mod (p)
y ≡ x mod (p)
[(z-x)n-1]1/n +[(z-x)n-2(z-x)]1/n +[(z-x)n-3(z-x) 2]1/n+...+[(z-x)2(z-x) n-3]1/n+[( z-x) (z-x) n-2]1/n +[(z-x) n-1]1/n ≡ 0 mod (p)
[(z-x)n-1]1/n +[(z-x) n-1]1/n +[(z-x) n-1]1/n+...+[(z-x) n-1]1/n+[( z-x) n-1]1/n +[(z-x) n-1]1/n ≡ 0 mod (p)
Como a soma possui n parcelas, então :
ny0 n-1 ≡ 0 mod (p) e nx0 n-1 ≡ 0 mod (p), se substituirmos x por y na congruência
Ou seja, p divide nx0 n-1 e ny0 n-1 . Se p = 1, não temos inteiros que satisfaçam a equação, pois x0n-1+ x0n-2+x0n-3+...+ x02+ x0+ 1>1, caso z-x=1 e x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1> 1 caso z-x>1 ; se p divir x0 irá dividir y, o que contraria a condição mdc(x,y,z)=1. Se p = n, então temos que :
x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1= n
Como a soma x0n-1+ x0n-2y0+x0n-3y02...+ x02y0n-3+ x0y0 n-2+ y0n-1 = n possui n parcelas, e como x0>0 e y0>0, temos que ter, obrigatoriamente x0 = y0 = 1,caso contrário o valor dessa soma será sempre maior que n ou então, caso um deles seja 0 e o outro 1, z será igual a x ou y, e assim teremos uma solução primitiva do tipo (z, 0, z) ou (0, z , z). Dessa forma, se x0 = y0 = 1, teremos então :
z-x =1
z-y =1
De onde concluímos que x=y.
Essa solução, em números naturais, só será possível na solução primitiva (0,0,0), pois 21/n é irracional para qualquer n primo maior ou igual a 3.
Ou seja, não existem soluções naturais para a equação xn + yn = zn
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