Tópico: Perguntas sem-vergonha sobre matematica

[Fenrir]

Se ja tiver um topico assim, por favor fazer um merge, se possivel.
Fiquei muito tempo fora e o CC acumulou um quasilhao de topicos e posts de tudo quanto e assunto.

Tenho um livro que ensina calculo usando numeros hiperreais em lugar de limites ou o epsilon-delta de Weierstrass
A definição destes numeros me deixou um tanto quanto desconsertado:
Podemos pensar num epsilon menor que qualquer numero real e ainda assim diferente de zero
Podemos pensar num H maior que qualquer numero real
e a partir dai, manipular numeros como 1+4*epsilon, H/2, etc, devido ao principio da transferencia

Não posso então pensar num numero XPTO menor que qualquer numero hiperreal e ainda assim diferente de zero?
e num numero XPTO maior que qualquer numero hiperreal?

e num numero YPTO menor que qualquer numero XPTO e ainda assim diferente de zero?
e num numero YPTO maior que qualquer numero XPTO?

ad infinitum

Os matemáticos pensaram nisso ou eu é que estou viajando?

Que hajam outros numeros alem dos reais (e seus subconjuntos) e dos complexos é algo bem intrigante.
Por exemplo, já ouvi falar de quaternions e numeros surreais, mas nem me atrevo a tentar entende-los
Teria que estudar muito antes disso.

Pra quem se interessar, o livro é o
"Elementary Calculus - An Infinitesimal Approach" de H. Jerome Keisler
e pode ser encontrado de grátis, sem infringir nenhum copyright, na web

[Euler1707]

Da definição de hiperreal, todo número XPTO é também um número hiperreal. Isto segue-se do seguinte fato:
Se A é hiperreal, então para todo a real, -a<A<a. Seja agora A` número XPTO, então temos que para todo A hiperreal, -A < A`<A, e segue que A`é hiperreal também, pois  -a<-A< A`<A<a, para todo real a maior que zero.

[Fenrir]

Grato por responder!

Só não entendi uma coisa, na primeira desigualdade, não seria -A < a < A ?
e dai  -A` < A < A` e então  -A` < -A < a < A < A` donde segue que A e A` tem a mesma natureza
de limitarem os numeros reais (posso colocar desta forma)?
Ou melhor, dizendo, pelas propriedades das desigualdades e por serem A e -A limites no sentido de que todo real
esta no intervalo entre (-A, A) e entre (-A`,A`) e dai segue que tanto A, como A` e A`` dai em diante são hiperreais?

[Fenrir]

Resposta duplicada - sorry

[Euler1707]

Grato por responder!

Só não entendi uma coisa, na primeira desigualdade, não seria -A < a < A ?
e dai  -A` < A < A` e então  -A` < -A < a < A < A` donde segue que A e A` tem a mesma natureza
de limitarem os numeros reais (posso colocar desta forma)?
Ou melhor, dizendo, pelas propriedades das desigualdades e por serem A e -A limites no sentido de que todo real
esta no intervalo entre (-A, A) e entre (-A`,A`) e dai segue que tanto A, como A` e A`` dai em diante são hiperreais?

Desculpe, ao falar de hiperreal, quis dizer infinitesimal correspondente a esse número hiperreal. A minha confusão se deu por causa da definição dada do conjunto na wikipedia: "O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais". De qualquer modo, o raciocínio ainda continua válido se assumirmos que a cada número infinitesimal corresponde um número hiperreal, basta substituir os termos "Hiperreal" e  "XPTO", por "infinitesimal" e "inverso de um número XPTO", respectivamente, no meu primeiro comentário, e notar que se A é hiperreal, e A' é XPTO, e como A'>A, para todo A Hiperreal, então 1/A´<1/A, para todo A hiperreal, e sendo 1/A um número infinitesimal, 1/A´ também é infinitesimal, logo, A´é hiperreal. Se quisermos ser mais críticos, na verdade, o que acabamos de provar é que não existe, sob a hipótese de a cada número hiperreal corresponder um número infinitesimal que é seu inverso, um conjunto como esses dos XPTO, pois, como foi mostrado, a inversa de um número XPTO é também um infinitesimal.