Tópico: Alguém poderia resolver para mim essa equação?

[DDV]

É uma equação logarítmica, que aparentemente é bem simples:

                                         log₂X + X = 20


Eu sei que a resposta é 16, mas eu gostaria que alguém mostrasse a resolução dela usando algum método ( excluindo tentativas, claro). Eu já tentei resolver usando o que sei do 2° grau (igualar bases, etc), mas não consegui.

[HSette]

Faça log₂x = n

Terá:

n + 2ⁿ = 20

log (n + 2ⁿ) = log 20

Editei para ajeitar a equação:

log₂2ⁿ = log₂(20 - n)

[Partiti]

Não tem solução, só numericamente. É como a equação cos(x) = x.

[Partiti]

Faça log₂x = n

Terá:

n + 2ⁿ = 20

log (n + 2ⁿ) = log 20

E como isso resolve?

[HSette]

Com as regras básicas não resolve não?

Vou ver aqui.

[Andre]

Com as regras básicas não resolve não?

Vou ver aqui.

Eu não consegui.

[DDV]

Não tem solução, só numericamente. É como a equação cos(x) = x.

É isso que eu desconfiava. Valeu.

[HSette]

É. A coisa emperra aqui:

n = log₂(20-n)

[Fabulous]

Dará 16 se você acrescentar números. Observe que é simplesmente equação do tipo que terminará com a constante x, ou seja, é isso.

[Partiti]

Hã?

[Luis Dantas]

É uma equação logarítmica, que aparentemente é bem simples:

                                          log₂X + X = 20


Eu sei que a resposta é 16, mas eu gostaria que alguém mostrasse a resolução dela usando algum método ( excluindo tentativas, claro). Eu já tentei resolver usando o que sei do 2° grau (igualar bases, etc), mas não consegui.

Se log na base 2 de X + X = 20, então

seja Y o logaritmo na base 2 de X.

Portanto:

Y + 2 ^ (Y) = 20

experimentemos pegar essa igualdade e usar ambos os lados como expoentes da base 2.  Obtemos então:

X * ( 2 ^ X) = 2 ^ 20

==> X = 2 ^ (20 - X)

Se não me engano a forma mais prática de conseguir a solução de uma equação dessas é recursivamente.  Sou muito fraco em matemática superior, mas me lembro vagamente de uma regra para a construção da próxima aproximação de X a partir da derivada da função no ponto correspondente ao valor anterior de X.  Alguém se lembra e pode fornecer detalhes?

[Partiti]

Era se não me engano o método de newton:

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method

Serve para achar os zeros de uma função, no caso bastaria assumir f(x) = log₂(x) + x - 20 , ou alguma outra forma qualquer.

Mas nesse caso nem isso seria necessário, basta resolver interativamente com X_n+1 = 20 - log₂(X_n), que converge para todo 0<X₀<2^20

[Luis Dantas]

Isso, o Método de Newton!  Valeu e obrigado por observar esse ponto também.