Tópico: Uma nova matemática, a partir do zero

[Buckaroo Banzai]

(enunciado meio irônico uma vez que o zero é um conceito matemático mais ou menos tardio)

Jim Holt, (acho que é algo como jornalista residente no Mathematical Sciences Research Institute). disse no bloggingheads.tv que acredita que a matemática é em muito inventada, e que não seria uma espécie de "idioma universal" que possibilitasse um certo nível de entendimento entre espécies de planetas diferentes como Carl Sagan sugeriu em "contato".

O que acham disso? Eu penso que de certa forma é verdade, ao menos aqui na Terra a matemática "ocidental" só surgiu uma vez, e foi prosseguindo, tanto quanto sei, tendo havido algumas matemáticas diferentes em diferentes culturas. Mas seria possível criar "outras matemáticas" (ou desenvolver mais algumas das já existentes) com o mesmo poder de uso da matemática "ocidental" para as coisas que importam mais, como ciência e tecnologia? (e não matemática "pura", não-aplicada)

Será que essas matemáticas diferentes não poderiam trazer perspectivas bastante interessantes sobre física, ou talvez ter outros tipos de aplicações nas quais de alguma forma superassem a matemática convencional?

Eu não sei, acho que talvez algum nível de convergência mínima seria consideravelmente provável, numa espécie de "matemática basal", e depois elas se diversificariam de formas mais incompatíveis conforme fossem avançando nas coisas mais complexas, chegando às pirações não-aplicadas, totalmente incompatíveis.

Mas eu sei lá. Mal entendo de matemática ocidental ginasial, então não sei.

[uiliníli]

Pode ser só por ignorância minha, mas eu acho essa história de "outras matemáticas" nonsense. As relações estabelecidas pela matemática são universais e não é a cultura que vai mudar o valor da razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência.

[Luis Dantas]

Mas não está amplamente documentado que a matemática tem ramificações - pelo menos na geometria e, se não me engano, na Teoria dos Números?

[uiliníli]

Mas não está amplamente documentado que a matemática tem ramificações - pelo menos na geometria e, se não me engano, na Teoria dos Números?

E ramificações não são só partes da velha e boa Matemática de sempre?

[Thufir Hawat]

Mas não está amplamente documentado que a matemática tem ramificações - pelo menos na geometria e, se não me engano, na Teoria dos Números?

Como assim?

Se você se refere, no caso da geometria, às geometrias não euclidianas não há difernça nenhuma entre a matemática que se faz em uma e nas outras, a diferença reside no fato de que os axiomas dos quais partem cada uma delas são diferentes.

[Aniello]

Talvez seja ignorância minha, mas não consigo nem mesmo entender o rótulo de matemática "ocidental". O que seria as matemáticas "orientais"?

Concordo que a matemática é uma linguagem, e não algo natural, e que outras linguagens podem ser usadas para descrever a natureza. Mas creio que a matemática seja universal para todos os que tiverem que trabalhar com quantidades e quantificações.

[Thufir Hawat]

Buckaroo, eu não entendi muito bem o que você propôe, pode tentar colocá-lo de outra forma?

Por enquanto, acho que é interessante já deixar alguma coisa pra te ajudar a tentar reescrever.

Veja bem, Matemática não é o conjunto das ferramentas numéricas[1] que usamos para descrever fenômenos, de certa forma, essas ferramentas são sim os produtos de se aplicar a Matemática à uma série qualquer de pressupostos.

De fato, matemática não tem a ver com "realidade", mas com "verdade". Isso é, os axiomas (nossos pressupotos), ao contrário do que somos geralmente levados a entender no ensino médio, não são verdades auto-evidentes, mas sim pontos de partida. Assim sendo, não é o objetivo da Matemática produzir resultados que necessariamente se verifiquem no mundo real/concreto, mas sim produzir resultados (que podem perfeitamente ser abstratos) que sejam conclusões lógicas necessárias das pressuposições iniciais (os axiomas, que podem ser, sem qualquer perda de "valor", contra-intuitivos, ou mesmo "irreais").

Aliás, nem faz sentido esperar que axiomas ou suas conclusões tenham qualquer lastro no real/concreto. O real/concreto não é o cenário nem tampouco o assunto da matemática. Se ela se presta a descrevê-lo só quer dizer que ela é útil para fazê-lo, não que ela deva fazê-lo. Quer dizer, não é necessário desenvolver uma nova matemática especial para descrever os fenômenos estudados por outras ciências (tenho dúvidas mesmo se isso seria possível), ela já está lá, inserida na Matemática, basta-nos encontrá-la (não que seja fácil, aliás é muito difícil, mas fascinante).

E outra coisa, mudar os pressupostos não muda a Matemática (continuamos derivando conseqüências lógicas necessárias, apenas de pontos de partidas distintos), muda sim as ferramentas que ela produz.

Em termos de usar a Matemática como língua universal, o principal problema não estaria em fazer a Matemática em si, mas em descobrir exatamente quais os axiomas dos quais partem outras civilizações que contactemos. Uma vez compreendidos, poderíamos derivar as mesmas conclusões lógicas necessárias que eles e abrir um canal de comunicação. *E sendo assim, suponho que quanto mais complexos se tornassem os assuntos Matemáticos da comunicação, menos complicada ela se tornaria.*

[1]Aliás, pra já deixar claro de cara: a Matemática não é necessariamente a respeito de números.

EDIT: Adicionei a frase entre os astericos.

[Dbohr]

O curioso é que a matemática tem raízes na Índia, no mundo árabe, na China... dificilmente é uma criação "ocidental". De fato, recordo-me de uma famigerada matéria publicada na edição especial de Etnomatemática da SciAm Brasil. Ali, um pesquisador da Unicamp propunha que a maneira como os índios interpretavam a lei de Snell (da refração) como "os olhos da gente nos enganando" era indício que a produção científica era um construto social... depois, num debate com alunos do Instituto de Artes (?!) alguém comentaria que isso era porque os índios não estavam inseridos no ideal cristão de corpo perfeito criado à imagem e semelhança de Deus (?!?).

 

Sobre o assunto em si... bom, o fato é que você pode construir N matemáticas diferentes, se conseguir construir grupos diferentes de Axiomas. Uma coisa que sempre me espanta é que as pessoas costumam confundir matemática (ou física, ou ciência de maneira geral) com A Verdade. Longe disso. Ocorre que a geometria de Euclides e o be-a-bá da álgebra e aritmética têm aplicações diretas e práticas no cotidiano das pessoas; mas isso não significa que elas sejam as únicas formas possíveis de fazer matemática, ou que sejam mais ou menos verdadeiras que outras matemáticas derivadas de axiomas diferentes.

[Thufir Hawat]

Sobre o assunto em si... bom, o fato é que você pode construir N matemáticas diferentes, se conseguir construir grupos diferentes de Axiomas. Uma coisa que sempre me espanta é que as pessoas costumam confundir matemática (ou física, ou ciência de maneira geral) com A Verdade. Longe disso. Ocorre que a geometria de Euclides e o be-a-bá da álgebra e aritmética têm aplicações diretas e práticas no cotidiano das pessoas; mas isso não significa que elas sejam as únicas formas possíveis de fazer matemática, ou que sejam mais ou menos verdadeiras que outras matemáticas derivadas de axiomas diferentes.

É por aí... por isso lá em cima diferenciei Matemática de matemática. Acho que outra coisa importante é deixar claro que partir de axiomas diferentes não implica fazer algo que seja fundamentalmente diferente de "matemática ocidental".

[Dbohr]

A pergunta que deveríamos nos fazer é por que certos fenômenos parecem se adequar neste conjunto de axiomas matemáticos e não naqueles. Mas isso é perigosamente perto da Teleologia

[Thufir Hawat]

Será? Me parece apenas razoável que dado um número aparentemente infinito de axiomas possíveis sejamos capazes de, através de muito trabalho, um pouco de inspiração e tentativa e erro (e você sabe como é difícil ) descobrir um conjunto deles que se adeqüe com alguma precisão para descrever nosso meio.

Não são os fen6omenos que se encaixam nos conjuntos axiomáticos "certos", somos nós que os encaixamos lá!

Até por que, aos poucos percebemos que a descrição feita por esses axiomas não é tão precisa quanto uma causa como teleologia sugeriria. Tão aí as geometrias não-euclidianas explicando o que antes parecia perfeitamente euclidiano que não me deixam mentir.

[Buckaroo Banzai]

Um post do fórum/comentários do bloggingheads:

[...]

The basics of arithmetic seem unlikely to change much, and the idea of certain ratios like Pi are unlikely to change, but if we leave behind arithmetic and start talking about mathematics, I think aliens would have taken a distinctly different route than we have taken. They may not have invented set theory, for example, which is considered the foundation of most mathematics (and still taught to every undergraduate majoring in Mathematics). They might not have discovered binary logic; there are workable systems of logic that apply more universally to the real world that consider everything in terms of probabilities, including things that have already happened. Our sense of discreteness is one of the reasons we had (and have) trouble accepting quantum theory, it is a quirk of the human mind to reject the idea that something is neither alive nor dead.

The same thing with your argument about the circle; we know nothing is perfectly circular or perfectly square, and some alien thought might consider all objects to be both to different degrees, and doesn't adhere to our sense of discrete shapes. For example, a sonar-using water alien might be able to simply reproduce the echo of a shape it has in mind, and thus not communicate in discrete shape concepts like "circle" and "square" at all.

I think a great deal of our arithmetic and the vast majority of our non-arithmetic mathematics is probably peculiar to the human mind. There is some core set of ideas, which we clumsily express in set theory (or a subset of set theory) that is probably common. It seems reasonable to count things, for example. But when we get to ratios like Pi, too much depends on choices which we have internalized as the "right" choices but could just as easily be otherwise. For example, 0.31831 is a good approximation of the inverse of Pi, how to find the radius of a circle given the circumference. Or, if our alien likes to think in squares, .886227 is what he must multiply the diameter of a circle by in order to find the edge of a square with equivalent area. An alien might see 0.886227 as near magical and view 3.141593 with incomprehension.

[Luis Dantas]

Isso não é uma nova matemática; mal chega a ser uma nova forma de ensinar matemática...

[Dbohr]

Não são os fen6omenos que se encaixam nos conjuntos axiomáticos "certos", somos nós que os encaixamos lá!

É igualmente possível

Embora eu saiba perfeitamente bem que jamais vamos encontrar a resposta para certas perguntas, não vou jamais deixar de me furtar a fazer certas perguntas do tipo "as leis físicas que observamos são as únicas possíveis?". Tenho a impressão que isso é resquício da minha vida de crente

[Dbohr]

Isso não é uma nova matemática; mal chega a ser uma nova forma de ensinar matemática...

É toda a minha crítica ao cara da Unicamp. O fato de você descrever os mesmos fenômenos usando uma linguagem diferente; ou seja, usando isomorfismos diferentes para mapear os mesmos axiomas e teoremas de formas diversas porém equivalentes não faz disso uma nova matemática. É a mesma, só que com outra roupa.

[Thufir Hawat]

Pois é Buckaroo, é o que vinha falando antes. Sem dúvida haveria muitas barreiras iniciais à comunicaçao "matemática"entre nós e uma civilização alienígena, ligadas à questões até mesmo biológicas como as eventuais diferentes ferramentas de percepção sensorial e quem sabe até culturais, por que essas influenciam os conjuntos de axiomas que cada civilização teria escolhido desenvolver.

Mas uma vez que essas fossem ultrapassadas (e se fossem), ou seja que um compreendesse os axiomas do outro, deveríamos ser perfeitamente capazes de reconstruir o raciocínio dos aliens e obter as mesmas conclusões que eles (acho até que mesmo se os processos de racicocínio deles fossem radicalmente diferentes dos nossos).

A partir daí, tendo iniciado uma "conversa" poderíamos partir pra outras.

Veja que o que o cara descreve ali são só ramos diferntes da Matemática. Da mesma Matemática. Poderíamos nos deparar com ramos profundamente diferntes e inesperados para nós? Sim, mas isso não quer dizer que seriam incompreensíveis.

EDIT: Tive de fazer alguma coisa, respondi pensando na matemática e o português tinha ficado medonho.

[Thufir Hawat]

Não são os fen6omenos que se encaixam nos conjuntos axiomáticos "certos", somos nós que os encaixamos lá!

É igualmente possível

Embora eu saiba perfeitamente bem que jamais vamos encontrar a resposta para certas perguntas, não vou jamais deixar de me furtar a fazer certas perguntas do tipo "as leis físicas que observamos são as únicas possíveis?". Tenho a impressão que isso é resquício da minha vida de crente

Também adoro essas viagens. Mas só as faço sob regime de suspensão de descrença. Senão, vai que eu tenho que corrigir uma prova de mecânica de um aluno do colegial e despenco lá do alto...

[Dbohr]

Aliás, parando para pensar bem, isso ilustra perfeitamente bem aquela pendenga sobre "novos métodos científicos" que o Adriano defendia noutros tópicos. Quaisquer novas metodologias ou métodos precisam ser equivalentes ao que tradicionalmente se usa. De outra forma, chegaríamos à inconsistência em cima de inconsistência.

Mal comparando: podemos estudar um núcleo atômico usando prótons e neutrons, ou podemos abandonar essa idéia e usar o formalismo do Isospin. Mas de um jeito e de outro, os resultados são os mesmos - e é isso que importa.

Também adoro essas viagens. Mas só as faço sob regime de suspensão de crença. Aí tenho que corrigir uma prova de mecânica de um aluno do colegial e despenco lá do alto...

Suspensão de descrença, pois não?

Mas sim, entendo muito bem a sensação. É horrível, mas fazer o quê?

[Thufir Hawat]

Suspensão de descrença, pois não?

Mas sim, entendo muito bem a sensação. É horrível, mas fazer o quê?

Isso mesmo, na pressa escrevi errado. Já vou ajeitar. Valeu pela correção, obrigado

[Rhyan]

A matemática foi inventada ou descoberta?

[Luis Dantas]

Inventada.

[Dbohr]

Entretanto, o Universo aparenta ser intrinsecamente matemático. Isso é tão misterioso quanto curioso para mim.

[Südenbauer]

A matemática foi inventada ou descoberta?

Como assim "descoberta" ?

[Rhyan]

Ela existia antes de ser descoberta?

[Unknown]

Ela existia antes de ser descoberta?

Não. Considere a matemática como uma ferramenta que usamos para resolver problemas do dia-a-dia ou hipotéticos. O que havia eram as áreas de terreno a se medir, a quantidade de pedras necessárias para as construções, a quantidade de madeira a se cortar e etc. Em suma, havia a necessidade de contar, quantificar as coisas. As coisas já existiam, a necessidade delas também suas respectivas quantidades, mas era necessário uma maneira de representar essa quantidade.