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Os matematicos sabem que as raizes n-ésimas (com n-ésimos pares, raiz quadrada, quarta, etc) de numeros negativos dão números imaginários, representados por i.
Ora, deve ter havido uma época na história da matemática em que o resultado de tais raízes era considerado como indeterminado, penso eu.
Quem fez Calculo sabe que expressões do tipo n/0, 0^0, 0^infinito e muitas outras sao indeterminadas.
Então vem a pergunta: Os matemáticos provaram que os resultados destas expressões são mesmo indeterminados ou posso supor que nosso conhecimento delas está no mesmo nível do conhecimento dos matemáticos de outrora quanto a possibilidade da raiz quadrada de um numero negativo poder ser expressa?
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Acho que todos ou a maioria já ouviu falar em números inteiros, racionais, reais e imaginários e que cada conjunto inclui o antecedente:
N C Q C R C I "C" = "esta contido em". Não é assim, ou estou errado?
Vem a pergunta: Existe algum outro tipo de números alem dos reais e imaginários? O que os matemáticos chamam de "Quatérnions" seriam números deste tipo ou apenas um subconjunto dos imaginários?
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Os matemáticos podem manipular quantas dimensões quiserem e não apenas com números inteiros como tambem com números fracionarios (geometrica fractal). Existiria uma matemática para 0, infinito, i ou -543 dimensões?
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A matemática se baseia em alguma lógica?
Alguem poderia conceber uma matemática construída a partir dos postulados de outras formas "não-ortodoxas" de lógica, tais como a lógica fuzzy ou a lógica paraconsistente?
Não li todos os comentários então posso estar repetindo algo que já foi respondido ( ou contradizendo ).
Sugiro a você a leitura do livro O Romance das Equações Algébricas,( talvez encontra pra baixar grátis ) que conta um pouco da história de como surgiu a ideia de números complexos e trabalhar com raízes de números negativos.
Como você deduziu houve época em que raízes de números negativos não era considerado indeterminado, era considerado absurdo. Há muito tempo já se sabia resolver equações de segundo grau, porém métodos gerais para resolução de equações de maior ordem foram mais desafiadores. Curiosamente raízes de números negativos surgem naturalmente quando tentamos resolver equações algébricas, porém alguns abandonavam o desenvolvimento quando chegavam neste ponto porque consideravam que a raiz quadrada de um valor negativo não fazia o menor sentido.
Isto porque, antigamente, os matemáticos tendiam a interpretar os números não como um conceito, mas como algo mais concreto. Como a representação de algo que existisse de fato no mundo real, assim como um quadro do Pão de Açúcar é uma representação de uma montanha que existe. A escola dos pitagóricos chegava a crer que os números tinham propriedades místicas, e usavam números como amuletos. Era uma mistura de matemática de verdade com o que hoje chamaríamos de numerologia.
A visão moderna é de que a Matemática é uma Ciência Abstrata, um sistema criado pela mente humana, e que existe apenas na mente humana. Portanto um matemático moderno não se sentiria embaraçado ao se deparar com raízes de números negativos. Você pode criar a Matemática que quiser, a álgebra que quiser, a geometria que quiser, e os conjuntos numéricos que quiser. Desde que o seu sistema seja coerente e não tenha contradições internas, ele vai funcionar enquanto sistema lógico abstrato.
Agora, se isso vai ter alguma aplicação, aí já é outra história. Normalmente os matemáticos não ficam inventando sistemas aleatórios, mas se interessam por ferramentas capazes de modelar aspectos do mundo real. A Matemática, antes de tudo, é uma ferramenta.
Mas a Matemática como Ciência Abstrata é somente um conjunto de símbolos, de definições, de postulados ( que são configurações iniciais para os símbolos ), e um conjunto de regras para manipular os símbolos e através destas regras gerar nova configurações. Uma nova configuração válida de símbolos é um teorema, e mostrar como as regras foram aplicadas sobre as configurações iniciais dos símbolos ( os postulados ) para gerar essa nova configuração, é a demonstração do teorema.
Podemos pensar em um jogo de xadrez como um ramo da matemática.
As peças seriam os símbolos, o postulado único seria a posição inicial do tabuleiro. Qualquer configuração válida das peças seria um teorema. A álgebra dessa matemática seriam as regras do jogo, e mostrar como se chega a uma determinada configuração no tabuleiro, a partir da posição inicial ( o postulado ) usando passo a passo as regras para movimentar as peças, isto seria a demonstração do teorema.
A única coisa importante quando se inventa estas regras é que elas não podem ser inconsistentes. Por exemplo, na equação ( a + b )² = a² + 2ab + b², nós podemos usar as regras da álgebra para transformar a configuração de símbolos do lado esquerdo da igualdade na configuração do lado direito, e vice-versa.
Mas você pode também usar estas mesmas regras para transformar (a² + 2ab + b²) em (b² + a² + ba2). ( Usaríamos as propriedades de comutatividade e associatividade ). E note que ( a + b )² = (b² + a² + ba2), porque essa é uma álgebra consistente.
Mas se a álgebra permitisse transformar ( a + b )² em ab³, mas não (a² + 2ab + b²) em ab³, então ela não funcionaria, porque seria contraditória.
Enfim, é abstrato, os números não são coisas reais como pedras e paus, nós os inventamos.
Pergunto: 10 + 5 = 15? Só se você quiser. Não há uma lei do universo determinando isso. Massa atrai massa na razão das massas e inverso ao quadrado da distância, isso acontece quer o homem concorde ou não, porque é um atributo da realidade. Porém 10 + 5 poder ser igual a 3. Imagine inventar uma álgebra para operar as horas em um relógio de ponteiros de 12 horas. 10 da manhã + 5 teria que resultar em 3 da tarde.
Os computadores utilizam uma álgebra semelhante a esta para operar números inteiros negativos em registradores, chamada de complemento de 2. Funciona perfeitamente.
Na Matemática que você usa no Cálculo o infinito não é um número. Infinito não é definido como sendo um valor numérico, porque os valores que os números podem representar são sempre finitos. Portanto você não pode fazer operações aritméticas com infinito. As operações indeterminadas que você listou são entre FUNÇÔES!
O infinito é definido como um conceito que representa o comportamento de uma função em determinada condição. Quando x, por exemplo, tende para algum valor. Infinito, por definição, é uma quantidade que é maior que qualquer quantidade finita. Ou seja, é o comportamento de uma função que vai assumindo valores finitos cada vez maiores, indefinidamente.
Portanto infinito/infinito não é propriamente INDETERMINADO. Porque nós podemos determinar o resultado desta razão. Indeterminado é só um termo que nesse caso significa que você não pode operar esta razão como se estivesse dividindo números finitos. Mas é determinado, e o limite desta razão vai depender das "velocidades" com que as funções no denominador e no numerador tendem para infinito. Ora, 3x/x ( quando x tende a infinito ) é determinado e igual a 3.
Se você quiser pode criar uma matemática onde infinito seja um número, e portanto uma divisão por 0 resultaria neste número. Desde que a Álgebra que você inventar não seja inconsistente ( contraditória ). Só que muito provavelmente essa matemática não teria aplicação na Engenharia e na Física como tem o Cálculo Diferencial e Integral.
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