Tópico: Duvidas sobre matematica

[Dream]

Alias, alguém entende o 1ˆN+2ˆN+3ˆN... infinito

Sendo -1/12 quando n=1, 0 quando N=2, 1/120 quando n=3; calculados por Euler?

No vídeo ele não explica o porquê, apenas cita que seria o número que melhor descreve a sequência divergente e que esses números acabam tendo uso prático até na mecânica quântica. Vou ver se tem outro vídeo explicando

<a href="https://www.youtube.com/v/0Oazb7IWzbA" target="_blank" class="new_win">https://www.youtube.com/v/0Oazb7IWzbA</a>

Pela definição regular de convergência de séries, esse resultado NÃO VALE ele é um resultado errado. Você não pode assumir que 1+2+3+4... = S para algum S real sem provar que esse S real existe antes, e esse S real não existe.

O resultado é sim usado por físicos, mas físicos não são lá famosos por formalismo matemática.
Deve haver definições alternativas que justifique o resultado, da mesma forma que o +1-1+1-1+1... = 1/2 se justifica com a definição "Somável por Cesáro"...

[Dream]

2
Acho que todos ou a maioria já ouviu falar em números inteiros, racionais, reais e imaginários e que cada conjunto inclui o antecedente:
N C Q C R C I  "C" = "esta contido em". Não é assim, ou estou errado?

Vem a pergunta: Existe algum outro tipo de números alem dos reais e imaginários? O que os matemáticos chamam de "Quatérnions" seriam números deste tipo ou apenas um subconjunto dos imaginários?

Sim, existem uns 3 tipos de Hipercomplexos, mas os Superreais.
E ainda dentro dos Complexos definimos os Algébricos e Transcedentais

3
Os matemáticos podem manipular quantas dimensões quiserem e não apenas com números inteiros como tambem com números fracionarios (geometrica fractal). Existiria uma matemática para 0, infinito, i ou -543 dimensões?

Na álgebra linear 0 dimensões seria o conjunto vazio Zero. Seria um espaço Vetorial de 0 dimensões.

Infinitas dimensões é algo bem definido também, na Análise Funcional se usa muito espaços de infinitas dimensões.

E o que você quer definir por -543 dimensões? Eu não conheço nenhuma definição pra isso, mas não seria trabalho inventar uma.

[Rhyan]

O infinito é um símbolo ou um número? Ele é algo totalmente abstrato?

[Dr. Manhattan]

O infinito é um símbolo ou um número? Ele é algo totalmente abstrato?

Todo número é abstrato. Nesse aspecto o infinito não é menos abstrato do que o zero.

A diferença é que conseguimos associar os números naturais à objetos contáveis de uma forma mais... natural. Então, o infinito pode ser entendido como um objeto matemático associado à uma propriedade de um conjunto, chamada cardinalidade. Existe uma álgebra desse tipo de número e ele pode ser usado (se você souber o que está fazendo) de forma bem consistente e rigorosa. Mas respondendo a sua pergunta: não, o infinito não é um número no mesmo sentido em que 2 ou 427. Uma confusão muito comum é pensar que o infinito é um número... ahm... infinitamente grande (não que ninguém consiga imaginar isso realmente). Para lhe dar uma noção, aqui vai um exemplo que vi um tempo atrás na internet:

Suponha que você tenha um suprimento inesgotável de bolinhas numeradas em ordem: 1, 2, 3, etc. Agora vá colocando essas bolinhas em uma caixa, de uma por uma, pela ordem numérica. Mas antes de fazer isso, vamos impor a seguinte regra: se o número da bola acrescentada for o quadrado de um número natural que *já esteja na caixa*, você imediatamente retira essa última bola da caixa. Bom, então o processo vai ser assim: coloca a bola 1, retira a bola 1 (pois 1^2 = 1), coloca 2, 3, 4 e retira 2, coloca a 5, 6, 7, 8, 9 e retira a 3, coloca a 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e retira a 4, 17, 18, etc.
Note que em cada passo o número de bolas na caixa vai aumentando. Se você for realmente fazendo isso, vai ver o número de bolas parecer aumentar monotonicamente. Porém, o que acontece no limite número de bolas infinito? Qual vai ser o número de bolas na caixa? Ora, vai ser zero, pois  todo número natural é a raiz de um outro número. Isso quer dizer que naquele regime inimaginável em que você manipula números infinitos de bolas, o número das que estão na caixa vai diminuir, até chegar a zero. Resumo da ópera: infinito não é o mesmo que um "número muito muito muito muito grande".  É um outro tipo de bicho.


EDIT: "quadrado" no lugar de "raiz".

[Dream]

O infinito é um símbolo ou um número? Ele é algo totalmente abstrato?

O infinito não é nem definido na maior parte da matemática. O que existe são definição de coisas no infinito, e alguns conjuntos numéricos muito loucos definem infinito (os super reais, por exemplo).

Outra é a questão de tipo de infinitos, tem os conjuntos dos cardinais e ordinais que são basicamente coleção de tipos de infinitos, uns baseados em associações possíveis e outros em ordem...

[Lakatos]

Também é interessante o fato de que é possível provar que alguns conjuntos totalmente inesperados possuem a mesma quantidade de elementos. Por exemplo, existem tantos números naturais (0,1,2,3...) quantos números pares (0,2,4,6...). Por outro lado, existem mais números reais do que naturais. Georg Cantor é o responsável por esse conceito, que ele denominou como "números transfinitos".

[Feliperj]

Pela definição regular de convergência de séries, esse resultado NÃO VALE ele é um resultado errado. Você não pode assumir que 1+2+3+4... = S para algum S real sem provar que esse S real existe antes, e esse S real não existe.

O resultado é sim usado por físicos, mas físicos não são lá famosos por formalismo matemática.
Deve haver definições alternativas que justifique o resultado, da mesma forma que o +1-1+1-1+1... = 1/2 se justifica com a definição "Somável por Cesáro"...

Ué, mas no vídeo o matemático russo deixa claro que Reimann justificou o resultado com sua função zeta e teoria dos numeros complexos.

E mesmo assim, não compreendemos muito bem o que isso significa, e ficamos espantados como o uso desses resultados nos dão extrema precisão em nossas teorias físicas.

[Dream]

Pela definição regular de convergência de séries, esse resultado NÃO VALE ele é um resultado errado. Você não pode assumir que 1+2+3+4... = S para algum S real sem provar que esse S real existe antes, e esse S real não existe.

O resultado é sim usado por físicos, mas físicos não são lá famosos por formalismo matemática.
Deve haver definições alternativas que justifique o resultado, da mesma forma que o +1-1+1-1+1... = 1/2 se justifica com a definição "Somável por Cesáro"...

Ué, mas no vídeo o matemático russo deixa claro que Reimann justificou o resultado com sua função zeta e teoria dos numeros complexos.

E mesmo assim, não compreendemos muito bem o que isso significa, e ficamos espantados como o uso desses resultados nos dão extrema precisão em nossas teorias físicas.

Sim, ele justificou, mas não usou a definição regular de séries. Eu consigo mostrar que essa série não conversa...

para an qualquer, an => 1, então 1 +2 +3 +4... => 1+1+1+1+1+...., pelo teste da comparação a Série da soma de todos os naturais não converge pela definição regular.