Tópico: Fração geratriz.

[Tarcísio]

Como consigo uma dízima "0,9..." através da fração geratriz?

[Guinevere]

3/3

9/9

1/1

[Tarcísio]

3/3

9/9

1/1

Tem uma explicação lógica para isso Gui?

[Alenônimo]

Tarcísio, 0,999… não é exatamente uma dízima periódica. Seu valor é 1. Por isso é representada com frações que indicam que o número é um, como 3/3.

Ela surge do erro em tentar somar as dízimas 0,333… e 0,666… que são respectivamente 1/3 e 2/3.

Ao trabalhar com dízimas, o ideal é usar sempre sua fração geratriz.

[Guinevere]

3/3

9/9

1/1

Tem uma explicação lógica para isso Gui?

Essa do Alê tá boa.

[Tarcísio]

Não acho lógica.

0,9... não é 1.

[Guinevere]

É!

veja:

0,9... = 0,3... + 0,6... = 1/3 + 2/3  = 1

[Rodion]

Não acho lógica.

0,9... não é 1.

1/3 = 0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333..... (ad infinitum)
2/3 = 0, 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666....
0,3333333333... mais 0,666666666666... dá 0,999999999999999999999999999.. 9999999999999999999....99999999999999999999.......999999999 ....999... (enfim)
isso dá praticamente um.

[Guinevere]

Acabei de digitar isso Bruno, você está desconsiderando minha explicação só porque eu sou mulher.

[Luis Dantas]

Não acho lógica.

0,9... não é 1.

Vou tentar pôr em outras palavras:

0,9... ao infinito _chega tão perto de 1 quanto se queira_, certo?

Por isso é 1, tanto na teoria quanto na prática.

[Rodion]

você colocou 0,9... e eu coloquei 0,999999999999999999999999999999999999999...999999999999999999999999...99999999999999999999999...99..

apesar de ter dito a mesma coisa que você, acho que dessa maneira ficou mais claro.

[Rodion]

e o jeito que o dantas colocou ficou melhor ainda hehehe

[Guinevere]

Não acho lógica.

0,9... não é 1.

Vou tentar pôr em outras palavras:

0,9... ao infinito _chega tão perto de 1 quanto se queira_, certo?

Por isso é 1, tanto na teoria quanto na prática.

Não tantas, não se trata aqui do conceito de limite quando se tende ao infinito. 0,9... é 1 sem se lançar mão disso.

0,9... é 1! Literalmente! Sempre. Quer "queira" quer não. É só uma forma diferente de escrever a mesma coisa.

você colocou 0,9... e eu coloquei 0,999999999999999999999999999999999999999...999999999999999999999999...99999999999999999999999...99..

apesar de ter dito a mesma coisa que você, acho que dessa maneira ficou mais claro.

Sim, porque seu raciocínio intuitivo é semelhante ao do Dantas, que pensou em termos de limite. Mas o criador do tópico usou 0,9... e por isso considerei que usar o mesmo seria suficiente.

e o jeito que o dantas colocou ficou melhor ainda hehehe

Porém incorreto.

[Snake]

Não é que a resposta do Dantas está incorreta, é que ela envolve conceitos um pouco mais complexos.

Pode-se provar por PG também, por exemplo:

0,999... pode ser definido como a soma dos termos da PG 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

O primeiro termo é 9/10 e a razão é 1/10. Assim, com a fórmula Sn = a1/(1-r),

Sn = 9/10/(1-1/10)
Sn = 9/10/9/10
Sn = 1

[Guinevere]

Não é que a resposta do Dantas está incorreta, é que ela envolve conceitos um pouco mais complexos.

Acho que ela está incorreta, sim. 0,9... não igual a 1 por ser um limite de "algo" tendendo a infinito. O Dantas nem especificou o que estaria tendendo ao infinito. O que seria? O número de dígitos que você decidir digitar?

[Luis Dantas]

Eu tentei ser mais casual, Gui, mas vou tentar de novo:

"A dízima 0,999... é, naturalmente, uma notação de um número com infinitas casas decimais.  Esse número é idêntico a um em qualquer sentido prático, porque a diferença entre esse número e um é literalmente _infinitesimal_; e mais formalmente, também é idêntico a um no sentido estrito porque se trata apenas de uma forma de representar em forma decimal a fração 3/3 ou 9/9."

[Alenônimo]

Não é que a resposta do Dantas está incorreta, é que ela envolve conceitos um pouco mais complexos.

Pode-se provar por PG também, por exemplo:

0,999... pode ser definido como a soma dos termos da PG 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...

O primeiro termo é 9/10 e a razão é 1/10. Assim, com a fórmula Sn = a1/(1-r),

Sn = 9/10/(1-1/10)
Sn = 9/10/9/10
Sn = 1

Não falei? 0,999… é 1

[Guinevere]

Ok, Dantas, espero que você não leia um tom rude nas minhas palavras, estou soando muito curta e grossa, mas vamos lá:

Esse número é idêntico a um em qualquer sentido prático

Esse número é idêntico a um em qualquer sentido. Não há "prática" porque não estamos falando de uma medida de uma grandeza física aqui, mas de um número, e isso é totalmente teórico.

porque a diferença entre esse número e um é literalmente _infinitesimal_

Errado, Dantas, a a diferença entre esse número e um é ZERO.

Infinitesimal é um conceito que você está lançando mão porque está pensando que 0,9... seja uma função que se aproxima de um e tentando pegar uma assíntota.

Mas limites, essas coisas, etc, se aplicam a funções e 0,9... é uma CONSTANTE.

[Luis Dantas]

Infinitesimal é um conceito que você está lançando mão porque está pensando que 0,9... seja uma função que se aproxima de um e tentando pegar uma assíntota.

Mas limites, essas coisas, etc, se aplicam a funções e 0,9... é uma CONSTANTE.

Certamente.  O número em si é constante e idêntico a um.

Mas a percepção do número não é constante.  Ao lê-lo, vemos primeiro 0,9 depois 0,99 e então 0,999; 0,9999 e assim por diante.

O número é, literalmente, (um menos um infinitésimo).  Ou seja, um.

Ou seria, se a sequência tivesse fim...

[Guinevere]

Infinitesimal é um conceito que você está lançando mão porque está pensando que 0,9... seja uma função que se aproxima de um e tentando pegar uma assíntota.

Mas limites, essas coisas, etc, se aplicam a funções e 0,9... é uma CONSTANTE.

Certamente.  O número em si é constante e idêntico a um.

Mas a percepção do número não é constante.  Ao lê-lo, vemos primeiro 0,9 depois 0,99 e então 0,999; 0,9999 e assim por diante.

O número é, literalmente, (um menos um infinitésimo).  Ou seja, um.

Ou seria, se a sequência tivesse fim...

A percepção?!? Isso não é matemática, é sei, lá psicologia cognitiva.

Eu acho que você está fazendo um mingau danado de conceitos de várias áreas da matemática e sei lá mais o quê.

[Luis Dantas]

Sim, é psicologia cognitiva.  Mas me diga, a pergunta original era sobre matemática?

[Guinevere]

Era. A pergunta original era como a partir de uma representação de um número chegar em outro tipo de representação para o mesmo número. Na verdade nenhum de nós deu o algoritmo pedido, mas já a resposta, porém acho que era isso que o cara queria saber.

Desculpa cara, você chegou por uns momentos a embaralhar minhas idéias, qualquer hora pelo msn com calma tentar explicar onde você erro.

[Tarcísio]

Parece-me que dizer que:

 "0,9..." = 1

É limitar o infinito de aproximação que o termo tem de se aproximar a um.

[Alenônimo]

Parece-me que dizer que:

 "0,9..." = 1

É limitar o infinito de aproximação que o termo tem de se aproximar a um.

Diz então o que geraria essa dízima 0,999… que não um erro na hora de somar outras dízimas periódicas.

[Guinevere]

Parece-me que dizer que:

 "0,9..." = 1

É limitar o infinito de aproximação que o termo tem de se aproximar a um.

Parece mas não é. Não é uma aproximação.