Aí vai uma prova de que limx→∞f(x) = e para f(x) = (1 + 1/X)x, eu só não prometo que quem não tem a menor noção de cálculo vá entender, e eu espero que vocês ainda lembrem um pouquinho de logaritmos.
Por facilidade, para não ter que escrever toda hora limx→∞, eu vou escrever simplesmente lim (limite).
Primeiramente, uma propriedade dos limites que vale quase sempre (inclusive neste problema, claro):
(1) lim g(f(x)) = g(lim f(x))
g(f(x)), obviamente, é uma função composta.
Seja g(x) = ln(x), então g(f(x)) = ln ((1 + 1/X)x)
ln(x) é a função logaritmo natural (notação equivalente a logex)
Prpriedade dos logaritmos:
(2) logb p = logb q => p = q
(3) logb ac = c.logb a
A proposição que quermos demonstrar é:
lim (1 + 1/X)x = e
A propriedade (2) me permite aplicar logaritmo dos dois lados da equação:
ln ( lim (1 + 1/X)x) = ln e ; ln e = 1
Segundo (1):
ln ( lim (1 + 1/X)x ) = lim ln((1 + 1/X)x)
Portanto
lim ln ((1 + 1/X)x ) = 1
De (3):
lim ln ((1 + 1/X)x ) = lim x.ln (1 + 1/X)
Então:
lim x.ln (1 + 1/X) = 1 ; 1 + 1/X = x + 1/X
lim x.ln ( x + 1/X) = 1
Agora quem não conhece cálculo diferencial vai ter que acreditar em mim. Como esse limite no infinito é um valor indeterminado vamos usar a regra de l'Hôpital, segundo a qual o limite de uma razão entre duas funções é igual ao limite da razão entre as derivadas dessas duas funções. Para obter essa razão vamos reescrever x.ln ( x + 1/X) como ln ( x + 1/X) .
1/X
O numerador equivale a ln (x+1) - ln x e a derivada dessa expressão é 1/X+1 - 1/X
A derivada do denominador é - 1/X2
Podemos então calcular
lim 1/X+1 - 1/X =
- 1/X2
lim - x2(x - (x+1)) =
x(x+1)
lim x2 =
x(x+1)
lim x2 + x _ x =
x2 + x x2 + x
lim 1 _ 1 =
x + 1
1 - limx→∞ 1/x+1 =
1 - 0 = 1
Como tínhamos tirado o logaritmo natural de tudo, agora fazemos a operação inversa, a exponenciação e voilà:
exp ( ln ( lim (1 + 1/X)x ) ) = exp 1
lim (1 + 1/X)x = exp 1
lim (1 + 1/X)x = e
Quod erat demonstrandum
Ufa!
Tópico: Professor da Uefs "prova" que e=1 (Lida 3745 vezes)