A maioria dos teoremas de cálculo diferencial e integral são demonstrados ou pelo menos a dedução inteira se encontra nos livros de apoio que meus professores sugeriram. Só uma ou outra vez a cada cálculo que eles mencionaram que nós ainda não possuíamos "matemática" para compreender toda a dedução, então davam o teorema meio pronto.
Em parte é verdade, o cálculo que ensinam são para problemas com parâmetros relativamente simples. Para problemas mais complicados, aprende-se uma "matemática" mais incrementada, como nos mestrados. (por favor, alguém me corrija se eu estiver falando bobagem!)
Não entendi sobre aprender primeiro "como ferramenta". A matemática é uma ferramenta, e seu desenvolvimento está relacionado com os problemas que foram surgindo, principalmente no cálculo diferencial e integral. Saber a demonstração é elementar, de nada adianta saber derivar sem entender o conceito de limite, por exemplo.