Pensa comigo Zaratustra(sempre quis dizer isso hahaha)
O Dante está defendendo que os conhecimentos matemáticos não tem fundamentação na experiência e que o fato do conhecimento começar pela experiência poderia muito bem começar de outra forma.
Eu e os demais estamos aqui botando fumaça pela orelha e sangue pelo nariz tentando entender. Alguns tentam refutar sumariamente também…
Muita gente começa a se irritar com a situação, mas fique tranquilo que não acho que o Dante vá dar continuidade as agressões.
Você está compreendendo a argumentaçãodo Dante, Zaratustra?
Abraços
De fato, Tarcisio, eu não consegui compreender totalmente a lógica da argumentação, somente das convenções. Mesmo porque a área de exatas nunca foi o meu forte…
Eu acho muito fácil argumentar da maneira "Leia isso e depois a gente conversa". Acho que a leitura desenvolve diversas interpretações e, se uma pessoa defende tanto um ponto de vista, acho que ela mesma tem que provar o que está dizendo. Bater o pé e dizer para ler uma série de livros é fácil; quero ver, pois, comprovar que o que autor está dizendo faz sentido.
Dante, meu camarada, será que dá pra simplificar mais o que você está dizendo, principalmente a parte dos axiomas? Explicaí, pra gente tentar construir algo aqui.
E sem ofensas galera, ninguém é ignorante aqui, caso contrário acho que a gente nem estaria desenvolvendo uma discussão como esta.
Abs.
Pois não Zaratrusta.
Neste tópico eu me senti discutindo com um criacionista. Sabe quando apontam uma lista enorme de fatos que o criacionismo não explica, mas o criacionista pega o mais fácil de distorcer e diz que refutou a lista inteira? Foi isto que pareceu. Então eu tentarei esclarecer cada ponto aqui que o empirismo matemático não explica.
1º) O conhecimento fomal é apodíticoPor exemplo:
Quantas formas eu posso permutar uma seqüencia binária das letras "A" e "B" sem repetí-las? Oras, duas:
AB
BA
E de quantas formas posso permutar uma seqüencia trinária das letras "A", "B" e "C" sem repetí-las? Oras, seis:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Repare que estes resultados são absolutamente necessários. Você consegue conceber outra seqüencia binária e não repetitiva de "A" e "B" além de "AB" e "BA"? É inconcebível! Impossível! É isto o que significa "apodítico". A necessidade absoluta de um conhecimento ser verdadeiro pela pura necessidade formal de sê-lo, independente de qualquer outra coisa além da razão.
A questão é que a matemática é toda assim. Existem sistemas alternativos de geometria, lógica, etc. Mas a relação que os axiomas tem com os teoremas deles derivados é apodítica.
Por exemplo, como você prova, na geometria euclidiana, que existem triângulos eqüiláteros? Sai por aí medindo triângulos? Mas os intrumentos de medição são imprecisos, não? O fato é que podemos pelos axiomas da geometria efetuar uma prova construtiva de existência de triângulos eqüilateros.
Supondo que você saiba quais são as definições de congruência, segmento de reta, círculo, circunferência e triângulo eqüilátero, para demonstrar a existência destes últimos faremos uso dos seguintes axiomas:
1º) Dado dois pontos distintos, existe um único segmento de reta determinado por ambos.
2º) Existem círculos de qualquer centro e qualquer raio.
3º) Se círculo
C1 tem ao menos um ponto interno em comum com
C2, e tem outro não pertencente a
C2, então existe ao menos um ponto em comum na circunferência de ambos.
4º) Duas coisas congruentes a uma terceira são congruentes entre si.
Então dado um segmento AB, há um círculo de centro A e raio AB, e um círculo de centro B e raio BA (Axioma 2). As circunferências destes círculos tem ao menos um ponto C em comum (Axioma 3). Existe um segmento AC e um segmento BC (Axioma 1). Pela definição de circunferência, AC e BC são congruentes a AB. Portanto, AC e BC são congruente (Ax.4). Logo, ABC é, por definição, um triângulo eqüilátero.
Quod erat demonstrandum. 
Já outros tipos de conhecimento não gozam do carater apodítico. Eu digo que todos corvos são pretos, que todos imãs têm dois polos e todos elétrons tem a mesma massa porque nunca detectamos o contrário. É plausível a existência de corvos albinos, imãs monopolares e elétrons de massas diferentes.
Dado isto, o que adianta dizer que o conhecimento matemático é empírico porque foi a formulação de alguns conceitos matemáticos foi empiricamente estimulada? Isto não explica as diferenças epistemológicas e metodológicas dela e das demais formas de conhecimento. Não é a experiência que garante o carater apodítico da matemática, mas a razão.
2º) Os conceitos que constituem o conhecimento formal são de um carater fenomenológico completamente diferente dos demais conceitosEu lhe pergunto, qual a aparência da igualdade? Qual sua cor? que som ela faz? Qual sua textura? Qual seu cheiro?
Eu poderia fazer esta pergunta para diversas outras coisas: conjunto, número, multiplicação, espaço vetorial infinito, semi-grupo ordenado arquimediano... Você não tem como responder estas perguntas porque todas essas coisas são desprovidas de qualidades sensíveis. Claro que nós usamos estes conceitos para descrever fatos empíricos, mas isto significa necessáriamente que eles são empíricos? Poderia muito bem ser que o nosso intelecto que organiza os fatos empíricos por mei destes conceitos, e existem fortes argumentos em favor desta posição. Gottlob Frege argumentou nos seguintes termos:
Olho uma paisagem e posso descrever um mesmo elemento dela de diversas formas, por exemplo:
"Aqui há
mil folhas verdes".
"Aqui há
uma folhagem verde".
"Verde" é uma propriedade sensível do elemento descrito na paisagem, e por isto que a palavra é constante em ambas as descrições. Já o número variou em ambas as descrições. Isto corrobora a posição de que número não é uma propriedade inerente ao elemento descrito, mas que depende da forma pela qual meu intelecto organizou minha experiência.
E claro que podemos enumerar outras coisas além dos elementos da nossa experiência. Por exemplo, podemos enumerar tudos os números inteiros múltiplos de 3 entre 0 e 10. Como eu expliquei acima, temos a certeza apodítica de que há 3 múltiplos de 3 no conjunto dos números inteiros entre 0 e 10.
Isto se estende a outros conceitos matemáticos, mesmo os geométricos. Por acaso já teve a experiência de um ponto, ou seja, de um objeto desprovido de dimensões? É claro que não! Portanto, é mais coerente supor que "ponto" não seja um conceito empírico, mas um conceito que nosso intelecto uso para organizar a experiência.
