Tópico: Questões matemáticas

[Euler1707]

Em homenagem à minha existência, à tua existência, à nossa existência, abro aqui mais um tópico para os seres humanos que não estão ocupados em fugirem de países em guerra, passando fome e enterrando seus familiares mortos. Talvez vocês achem estranho esse inicio de texto, mas quantas pessoas tiveram a chance de conhecerem a beleza da matemática, se até mesmo entre aqueles que tiveram uma boa educação e que puderam conhece-la, há quem não reconheça a sua beleza? Se você gosta de matemática, do raciocínio lógico rigoroso e sistemático, considere-se um privilegiado.

A lógica parece reger o funcionamento de nosso universo, e sua linguagem é a matemática. Se o universo não fosse regido pela lógica, não poderíamos sequer existir. Devemos a nossa existência à um universo logicamente estruturado e por isso dedico esse tópico à nossa existência.
Esse tópico tem por objetivo que foristas postem questões interessantes de matemática, mas não só isso. Se quiserem, podem postar teoremas ou demonstrações de teoremas que vocês achem interessantes.

Atenção: Não poluam esse tópico com questões simples de álgebra ou xaradas lógicas.

[Euler1707]

Aqui vai a primeira questão, fácin, fácin.
Sejam e duas curvas de em , contínuas, suaves (isto é, suas derivadas não se anulam), e que não se interceptam. Para dois pontos, um sobre (que vamos chamar de ), e outro sobre (respectivamente, de ), definimos sua distância como . Demonstre que se um par de pontos sobre essas duas curvas ,minimizam , então as retas tangentes das duas curvas sobre esses pontos são paralelas.

[Johnny Cash]

Me desculpe não entrar no mérito matemático, mas pode desenvolver a afirmativa abaixo?

Se o universo não fosse regido pela lógica, não poderíamos sequer existir [...] Devemos a nossa existência à um universo logicamente estruturado [...]

[Euler1707]

Me desculpe não entrar no mérito matemático, mas pode desenvolver a afirmativa abaixo?

Se o universo não fosse regido pela lógica, não poderíamos sequer existir [...] Devemos a nossa existência à um universo logicamente estruturado [...]

(Acho que esse meu platonismo deve ter soado como se eu fosse um verdadeiro crente. talvez eu seja).
Gostei muito que você tenha me pedido para explicar isso, pois um dos objetivos desse tópico também era o de discutir sobre filosofia da matemática. A resposta que eu tenho a te dar requer um pouco de elaboração, mas a ideia é basicamente essa: Se o universo existe, ele teria que validar a sí mesmo, caso contrário, sua existência seria um absurdo por si só.

[Gauss]

Me desculpe não entrar no mérito matemático, mas pode desenvolver a afirmativa abaixo?

Se o universo não fosse regido pela lógica, não poderíamos sequer existir [...] Devemos a nossa existência à um universo logicamente estruturado [...]

(Acho que esse meu platonismo deve ter soado como se eu fosse um verdadeiro crente (talvez eu seja)).
Gostei muito de que você me pedido para explicar isso, pois um dos objetivos desse tópico também era o de discutir sobre filosofia da matemática. A resposta que eu tenho a te dar requer um pouco de elaboração, mas a ideia é basicamente essa: Se o universo existe, ele teria que validar a sí mesmo, caso contrário, sua existência seria um absurdo por si só.

Isso soou um pouco Design Inteligente(vulgo neocriacionismo). Mas eu entendi o que você quis dizer. A matemática é a abstração que rege as leis naturais do Universo. Está presente em tudo, justamente por ser abstrato e poder demonstrar uma série de coisas através de interpretações utilizando-a. É algo profundo.

[Euler1707]

É um pouco mais profundo. Considere que o universo é estruturado de maneira lógica. Todas as coisas no universo estão sujeitas às leis da física, e tais leis devem ser compatíveis entre sí de maneira lógica, do mesmo modo que um teorema não pode refutar outro teorema num mesmo sistema lógica e com as mesma premissas. Se o universo existe, então seu sistema lógico (as leis físicas que o regem) devem ser compatíveis entre sí, não podem se refutar, caso contrário, como eu já tinha dito, sua existência seria um absurdo.
Isto nos leva a uma outra pergunta fundamental da filosofia matemática: Quais são as premissas iniciais ou os axiomas de nosso universo?

[Euler1707]

É um pouco mais profundo. Considere que o universo é estruturado de maneira lógica. Todas as coisas no universo estão sujeitas às leis da física, e tais leis devem ser compatíveis entre sí de maneira lógica, do mesmo modo que um teorema não pode refutar outro teorema num mesmo sistema lógica e com as mesma premissas. Se o universo existe, então seu sistema lógico (as leis físicas que o regem) devem ser compatíveis entre sí, não podem se refutar, caso contrário, como eu já tinha dito, sua existência seria um absurdo.
Isto nos leva a uma outra pergunta fundamental da filosofia matemática: Quais são as premissas iniciais ou os axiomas de nosso universo?

Isso tá meio confuso, mas o assunto também é um tanto complexo.

[Gabarito]

Admiro seu interesse pela Matemática.
Eu também aprecio (de longe, porque não sou especialista) esse Reino do Conhecimento Humano.

Mas você já tentou inferir sobre Lógica, Filosofia, Matemática e outras áreas do conhecimento a que nós chegamos a partir de um ponto "fora" desse nosso universo?
Se existem "lá fora" outros universos, como especulam novas teorias da Física, Multiverso e essas coisas, a parada por lá não seria necessariamente como as que temos e vemos no nosso universo "particular".

Haveria a mesma Matemática por lá?
Haveria a mesma Química? Os elementos constituintes desses outros universos seriam os mesmos? Hidrogênio, Hélio, Lítio, Berilo,...
Haveria uma Matemática em que se somam-se e subtraem-se itens?
Haveria até mesmo a Lógica como a que temos aqui?

Se sim, que conjunto de mundos monótono e igual!
Então, só muda a "coordenada" de cada universo? Então nem novo universo deveria se chamar. Apenas um apêndice dos que já existem.

Eu já acho que a realidade é rica, as possibilidades são infinitas, a criação é incessante.
Sendo assim, nos outros universos, tudo deve ser COMPLETAMENTE diferente.
Não se prenda ao antropomorfismo nem ao conhecimento que o primata ser humano é capaz. Tem muita coisa além e acima disso.

[Rocky Joe]

Quais são as premissas iniciais ou os axiomas de nosso universo?

Até onde entendo, Gödel tornou esta questão irrelevante. Não é uma questão de achar "axiomas iniciais consistentes a partir dos quais tudo pode ser provado" - mesmo se eles existissem, existiriam verdades matemáticas que não poderiam ser provadas.

E física não tem a ver com matemática exatamente - física trata de proposições sintéticas, não analíticas. A natureza não é 'lógica'. Ela é. Acho que uma forma melhor de dizer o que eu acho que você quer dizer é que 'a natureza parece seguir um padrão (e que [parece] conseguimos perceber ao construir teorias físicas)'.

[Buckaroo Banzai]

A natureza não é 'lógica'. Ela é.

Essa frase não é ambigua. Ela é.

[Rocky Joe]

O que eu quis dizer é que se trata de duas coisas de natureza (!) diferentes. Eu pessoalmente não vejo sentido em dizer que a natureza é 'lógica'.

Pondo da seguinte qualquer forma, para tentar clarificar: há qualquer coisa que possa acontecer no mundo físico em que diríamos que este é 'ilógico'? Há qualquer coisa que possa acontecer em que diríamos que ele é 'lógico'? Minha resposta, por enquanto ao menos, é 'não', e que a pergunta, se tratando de uma pergunta acerca de um fato do mundo, logo é sem sentido.

[Euler1707]

Mas você já tentou inferir sobre Lógica, Filosofia, Matemática e outras áreas do conhecimento a que nós chegamos a partir de um ponto "fora" desse nosso universo?
Se existem "lá fora" outros universos, como especulam novas teorias da Física, Multiverso e essas coisas, a parada por lá não seria necessariamente como as que temos e vemos no nosso universo "particular".
Haveria a mesma Matemática por lá?
Haveria a mesma Química? Os elementos constituintes desses outros universos seriam os mesmos? Hidrogênio, Hélio, Lítio, Berilo,...
Haveria uma Matemática em que se somam-se e subtraem-se itens?
Haveria até mesmo a Lógica como a que temos aqui?
Se sim, que conjunto de mundos monótono e igual!
Então, só muda a "coordenada" de cada universo? Então nem novo universo deveria se chamar. Apenas um apêndice dos que já existem.
Eu já acho que a realidade é rica, as possibilidades são infinitas, a criação é incessante.
Sendo assim, nos outros universos, tudo deve ser COMPLETAMENTE diferente.
Não se prenda ao antropomorfismo nem ao conhecimento que o primata ser humano é capaz. Tem muita coisa além e acima disso.

Parece que eu não me expressei bem. Isso definitivamente é minha culpa, e a primeira coisa que eu deveria fazer era definir os conceitos para que não haja um desentendimento dos termos que eu estou usando, e desenvolver as idéias a partir daí. Eu prometo que quando eu tiver um tempo eu vou fazer isso.
Sobre a existência de outros universos, saiba que eu não os desconsidero, mas penso que suas leis físicas também estão condicionadas à não se anularem (eu sei que isso parece confuso, mas eu juro que eu vou te explicar um pouco melhor isso).

[Buckaroo Banzai]

O que eu quis dizer é que se trata de duas coisas de natureza (!) diferentes. Eu pessoalmente não vejo sentido em dizer que a natureza é 'lógica'.

Pondo da seguinte qualquer forma, para tentar clarificar: há qualquer coisa que possa acontecer no mundo físico em que diríamos que este é 'ilógico'? Há qualquer coisa que possa acontecer em que diríamos que ele é 'lógico'? Minha resposta, por enquanto ao menos, é 'não', e que a pergunta, se tratando de uma pergunta acerca de um fato do mundo, logo é sem sentido.

Sim, lógica como "estrutura coerente de argumentação" não é algo que se aplicaria ao universo em si, dado que não é um "argumento". Apenas ao seu entendimento abstrato.

Por outro lado, talvez em "sentido figurado" (ou tão literal quanto puder ser o entendimento não-absurdo) também poderia ser dito de algo que simplesmente existe, e se comporta de maneira regular, "seguindo uma lógica", é lógico.

Dizer que o universo "não é lógico" sem esse esclarecimento sobre que é quase a mesma coisa que dizer que "o universo não é gramaticamente correto", acaba soando um pouco como convite para entrada franca de explicações místicas para qualquer coisa.

[Rocky Joe]

Por isso sugeri o termo 'padrão', para não ter confusão. Pode ser preciosismo meu, mas achei que o Euler poderia estar fazendo esta confusão, também.

O meu por enquanto na frase anterior foi por causa de lógica quântica. Nesse sentido, algo no mundo interferiria no nosso entendimento de lógica.

E não entendi o que você quis dizer com qualquer coisa que eu disse e a conexão com misticismo.

[Euler1707]

Quais são as premissas iniciais ou os axiomas de nosso universo?

Até onde entendo, Gödel tornou esta questão irrelevante. Não é uma questão de achar "axiomas iniciais consistentes a partir dos quais tudo pode ser provado" - mesmo se eles existissem, existiriam verdades matemáticas que não poderiam ser provadas.

E física não tem a ver com matemática exatamente - física trata de proposições sintéticas, não analíticas. A natureza não é 'lógica'. Ela é. Acho que uma forma melhor de dizer o que eu acho que você quer dizer é que 'a natureza parece seguir um padrão (e que [parece] conseguimos perceber ao construir teorias físicas)'.

Existem propriedades do universo que definem como ele vai se comportar. Uma delas é a velocidade da luz no vácuo: nada pode ultrapassá-la. Essas propriedades é que definem as leis físicas, e o que são leis físicas, se não somente abstrações dessas propriedades. Veja bem, nenhuma coisa pode percorrer uma distância máxima num dado tempo, pois estaria quebrando a lei que diz que nada é mais rápido do que a luz.
Quando me refiro a lógica do universo, me refiro em específico às regras que o regem e o fazem vir a ser, neste sentido, o universo é sim lógico, pois sua existência requer que o seja assim.

[Euler1707]

Pondo da seguinte qualquer forma, para tentar clarificar: há qualquer coisa que possa acontecer no mundo físico em que diríamos que este é 'ilógico'? Há qualquer coisa que possa acontecer em que diríamos que ele é 'lógico'? Minha resposta, por enquanto ao menos, é 'não', e que a pergunta, se tratando de uma pergunta acerca de um fato do mundo, logo é sem sentido.

Ora, se algo aconteceu é porque já tinha a potência de acontecer, e neste sentido esse algo é lógico.
É como o sobrenatural: se acontecer, é porque já era natural.

[Rocky Joe]

Quais são as premissas iniciais ou os axiomas de nosso universo?

Até onde entendo, Gödel tornou esta questão irrelevante. Não é uma questão de achar "axiomas iniciais consistentes a partir dos quais tudo pode ser provado" - mesmo se eles existissem, existiriam verdades matemáticas que não poderiam ser provadas.

E física não tem a ver com matemática exatamente - física trata de proposições sintéticas, não analíticas. A natureza não é 'lógica'. Ela é. Acho que uma forma melhor de dizer o que eu acho que você quer dizer é que 'a natureza parece seguir um padrão (e que [parece] conseguimos perceber ao construir teorias físicas)'.

Existem propriedades do universo que definem como ele vai se comportar. Uma delas é a velocidade da luz no vácuo: nada pode ultrapassá-la. Essas propriedades é que definem as leis físicas, e o que são leis físicas, se não somente abstrações dessas propriedades. Veja bem, nenhuma coisa pode percorrer uma distância máxima num dado tempo, pois estaria quebrando a lei que diz que nada é mais rápido do que a luz.
Quando me refiro a lógica do universo, me refiro em específico às regras que o regem e o fazem vir a ser, neste sentido, o universo é sim lógico, pois sua existência requer que o seja assim.

No mais, continuando o tópico, uma falácia que acho divertida é esta:


Suponha que há um número natural que não pode ser descrito sem ambiguidade em quatorze palavras ou menos. Então existe um menor número que satisfaça esta propriedade. Chamemos de n. Mas n é "o menor número natural que não pode ser descrito em quatorze palavras ou menos". Mas esta é uma descrição utilizando quatorze palavras ou menos! Logo, a premissa é errada, e não há número natural que não possa descrito com quatorze palavras ou menos!

[Euler1707]

Por isso sugeri o termo 'padrão', para não ter confusão. Pode ser preciosismo meu, mas achei que o Euler poderia estar fazendo esta confusão, também.

O meu por enquanto na frase anterior foi por causa de lógica quântica. Nesse sentido, algo no mundo interferiria no nosso entendimento de lógica.

E não entendi o que você quis dizer com qualquer coisa que eu disse e a conexão com misticismo.

Desculpem pela confusão. Como eu já disse antes, eu precisa primeiro definir os conceitos e depois as idéias, mas sobre o que você falou, é mais ou menos isso.

[Euler1707]

No mais, continuando o tópico, uma falácia que acho divertida é esta:


Suponha que há um número natural que não pode ser descrito sem ambiguidade em quatorze palavras ou menos. Então existe um menor número que satisfaça esta propriedade. Chamemos de n. Mas n é "o menor número natural que não pode ser descrito em quatorze palavras ou menos". Mas esta é uma descrição utilizando quatorze palavras ou menos! Logo, a premissa é errada, e não há número natural que não possa descrito com quatorze palavras ou menos!

Eu conheço essa questão. Ela é uma variação do paradoxo do barbeiro de Russel, estou certo?

[Rocky Joe]

Acho que sim.

[Euler1707]

O que seria uma cadeira?

[Rhyan]

Um universo ilógico não existiria.

[Euler1707]

Um universo ilógico não existiria.

Exato, isso porque sua própria existência requer uma lógica de ser (não estou me referindo à uma razão de existir, porque ele não tem) e vir a ser, isto é, de se transformar em tudo que está sobre seu domínio de potência existêncial, se é que vocês me entendem.

[Buckaroo Banzai]

Quase que escrevi de novo a frase do Rocky Joe agora.

O universo simplesmente "é", "existe". O que quer que seja, simplesmente "é". Não veio a ser por satisfazer a lógica como pré-requisito "físico" antes de se "materializar" duma [in]existência potencial platônica, cosmo-fantasmagórica, onde "existem" universos que seriam "demonstravelmente falsos", sob uma análise lógica.

Lógica é linguagem, ser possível "verbalizar"/entender não pré-requisito para existência.

Tópico talvez relevante, "lógica para-consistente":

../forum/topic=5364.0.html

[Euler1707]

O universo simplesmente "é", "existe". O que quer que seja, simplesmente "é".

Foi o que eu escrevi. Quando eu me refiro á lógica, eu me refiro ao sentido estrutural e não ao linguístico. Tudo o que o universo venha a ser deve estar sujeito à essa estrutura.

Não veio a ser por satisfazer a lógica como pré-requisito "físico" antes de se "materializar" duma [in]existência potencial platônica, cosmo-fantasmagórica, onde "existem" universos que seriam
"demonstravelmente falsos", sob uma análise lógica.

Veja bem: ele não é pois satisfaz uma estrutura lógica, mas se ele existe, ele deve ter uma estrutura lógica, entendeu?  A->B é diferente de A<->B. Além do mais, eu nunca disse que existem universo que seriam demonstravelmente falsos sob uma análise lógica. Isso é absurdo. Podem haver universos com lógicas (no sentido estrutural) diferentes, no entanto, os objetos desses universos estão sujeitos à essas estruturas lógicas, isto é, tudo o que ele pode ser estará sujeito à estrutura lógica de seu universo. É ótimo você ter citado a Lógica Paraconsistente, uma vez que ela é um ótimo exemplo do que eu estou falando. A LP possui uma lista diferente de axiomas da LC, e todos os teoremas em LP devem satisfazer tais axiomas. Isto não torna os teoremas e LC falsos, uma vez que os teoremas de LC estão sujeitos a somente aos axiomas de LC, no entanto, um teorema em LC pode não ser verdade em LP. Além do mais, todo os teoremas de LP devem ter sua potência de ser sujeitas aos axiomas de LP, tal como todas as coisas possuem sua potência de ser limitadas pela estrutura de nosso universo.

Lógica é linguagem, ser possível "verbalizar"/entender não pré-requisito para existência.

O que seria uma cadeira?

ps: eu sei que essa ultima parte pareceu estranha, mas eu queria levantar o debate para aquele debate de entidade e representação, e essa tua fala de que a Lógica é somente uma linguagem vei bem a calhar, afinal, não séria a linguagem somente uma estrutura lógica?.