Tópico: Problema de Monty Hall

[Südenbauer]

O leitor está num programa do tipo "Roda dos Milhões". O apresentador do programa mostra-lhe três portas iguais. Por trás de uma delas está um maravilhoso e cintilante carro descapotável. Por trás de cada uma das outras está uma cabra. O objetivo do jogo é que o leitor escolha uma das portas, ganhando o prémio que ela esconde.
As regras, no entanto, são as seguintes: o apresentador começa por lhe pedir que escolha uma das três portas, coisa que o leitor faz. Independentemente da sua escolha, o apresentador (que sabe onde está o carro) abre uma das duas portas não escolhidas, revelando uma cabra. Em seguida, vira-se para si e dá-lhe a possibilidade de trocar a sua escolha da porta inicial para a outra porta ainda fechada.
O que é que lhe é mais vantajoso ? Trocar de portas ou manter a escolha inicial ? Ou é indiferente ?

[Oceanos]

Indiferente?

[Rhyan]

indiferente, não?

[Snake]

Trocar de porta dobra a chance de ganhar.

[Südenbauer]

Esse problema é bem legal.

A primeira vista, parece óbvio que a probabilidade é de 1/2, portanto indiferente, mas façam o mesmo problema com um número mais elevado de portas (ex: 100) para verem que não é bem assim...

[Oceanos]

Continuo indiferente.

[Snake]

Vejamos as possibilidades de escolha:

1) escolho uma porta premiada, e o apresentador escolhe qualquer uma das outras portas;
2) escolho uma porta não-premiada, e o apresentador é obrigado a escolher a outra não-premiada.

A chance de 1 ocorrer é de 1/3 (pois apenas uma das três portas é premiada), e a de 2 é de 2/3. Observe que se ocorrer a situação 1 (1/3 de chance, lembre-se) e eu trocar de porta, não ganho o carro; no entanto, se trocar de porta na situação 2 (2/3), ganho. Portanto a possibilidade de eu ganhar o carro ao trocar de porta é de 2/3.

O problema da análise intuitiva do problema é pensar que o apresentador escolhe uma porta ao acaso, mas ele sabe qual porta é premiada e qual não é.

[Alenônimo]

A questão não é simples. No momento em que ele elimina uma porta, a chance de ganhar sobe para 1 em 2. Estando a porta escolhida certa ou não, o apresentador faz essa manha para dar mais audiência, o que indica que ele não está necessariamente ajudando a pessoa. A pessoa ainda precisa escolher entre 2 portas.

Enfim, as chances aumentam de 33% para 50% quando ele elimina uma porta. Só. Daí a mudar ou ficar com uma porta, vai da pessoa...

A não ser que seja com o Silvio Santos e que ele insista bastante para trocar de porta. De repente ele quer que você ganha e tenta te ajudar. Já vi ele fazer isso várias vezes...

[Südenbauer]

Imaginem 100 portas. Você escolhe uma, o apresentador mostra uma errada e pergunta se você quer mudar de escolha. A probabilidade de você estar errado é maior. Logo, uma decisão embasada na probabilidade deve ser a de mudar de escolha.

[Alenônimo]

Imaginem 100 portas. Você escolhe uma, o apresentador mostra uma errada e pergunta se você quer mudar de escolha. A probabilidade de você estar errado é maior. Logo, uma decisão embasada na probabilidade deve ser a de mudar de escolha.

Errado. Quanto menos portas, mais chance de acertar. Se o apresentador retira uma porta do jogo (abrindo e mostrando que está errada), é uma porta errada a menos para o participante escolher!

Presta atenção: no começo ele tem 3 portas e o prêmio está em apenas 1 porta. A chance de acerto é de 1 em 3, ou de 33%.

Mas depois que o apresentador mostra que uma das portas que ele não escolheu era errada, o participante fica com 2 portas ainda para escolher, aumentando a chance de acerto para 1 em 2, ou de 50%.

Lembre-se de que agora ele tem mais chances de acertar, caso queira escolher: seja em ficar com a porta, ou a de mudar. Ele tem 50% de chances de acertar mudando de porta e 50% de chances de acertar ficando com a que escolheu. Depois que se tem uma porta a menos, é mais fácil de fazer a escolha certa.

Quanto a pergunta: "ele deve mudar de porta ou ficar com ela?" a resposta é indiferente. As chances de acertar são de metade para cada uma. É acertar ou errar.

[Snake]

Mas depois que o apresentador mostra que uma das portas que ele não escolheu era errada, o participante fica com 2 portas ainda para escolher, aumentando a chance de acerto para 1 em 2, ou de 50%.

Só que a porta que o apresentador elimina depende da sua escolha. É por isso que não é indiferente.

A resposta intuitiva ao problema é a de que quando o apresentador revelou uma porta não-premiada, nós teríamos à nossa frente um novo dilema com apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances de que o prêmio esteja em qualquer uma das duas portas seriam de 50%. O apresentador teria nos ajudado, já que nossas chances subiram de 1/3 para 1/2, mas realmente não faria diferença trocar ou não de porta uma vez que ambas teriam as mesmas chances de possuírem o prêmio. No entanto esta resposta está errada, pois a porta que o apresentador abre depende da porta que nós escolhemos inicialmente. O apresentador sabe desde o começo onde está o prêmio (ele nunca abrirá uma porta premiada). Ao abrir uma porta, ele não está criando um jogo todo novo, mas está dando informações valiosas sobre o jogo original. É por isso que a resposta é tão contra-intuitiva: parece-nos que o apresentador abriu uma porta aleatoriamente, mas isso está muito longe da verdade. Como vimos, se tivermos escolhido inicialmente uma porta não-premiada, ele não tem nenhuma liberdade de escolha e só pode abrir uma porta.

http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/montyhall.htm

[Oceanos]

Vejamos as possibilidades de escolha:

1) escolho uma porta premiada, e o apresentador escolhe qualquer uma das outras portas;
2) escolho uma porta não-premiada, e o apresentador é obrigado a escolher a outra não-premiada.

A chance de 1 ocorrer é de 1/3 (pois apenas uma das três portas é premiada), e a de 2 é de 2/3. Observe que se ocorrer a situação 1 (1/3 de chance, lembre-se) e eu trocar de porta, não ganho o carro; no entanto, se trocar de porta na situação 2 (2/3), ganho. Portanto a possibilidade de eu ganhar o carro ao trocar de porta é de 2/3.

Putz, entendi...

Bem legal...  

[ThePlaceboBoy]

Eu tenho aqui comigo uma publicação da Sociedade Brasileira de Matemática na qual este problema é analisado, só que não consigo achá-la no tumulto das minhas tralhas. No entanto, pelo que me recordo, a explicação do snake é, de fato, a resposta oficial.

[n/a]

Interessante.

[Felius]

To achando essa furada.

Sendo a chance de se escolher a errada maior no começo e ele tirar uma errada, as possibilidades mudam.
Só mostra que teve mais chance de escolher a errada, MAS, após elimanadas uma das portas as possibilidades se igualam, e tem tanto chance de ter escolhida a errada quanto a certa agora.

A revelação de uma que tem a cabra, aumenta as chances de ganhar de ambas as portas para 50%

[Hold the Door]

Façamos assim. Vamos imaginar duas situações distintas, o homem joga três vezes em cada uma delas, sendo que no primeiro caso ele nunca muda de porta e no segundo sempre muda.

Na primeira situação, ele vai sempre escolher a porta A e não muda.

Estatísticamente cada porta tem 1/3 de chances de ser a certa, então ele tem chances de vencer em 1/3 das vezes (p.ex. na primeira o prêmio está na A e nas outras duas vezes está na B e C).

Na segunda situação ele sempre escolhe a porta A, mas sempre muda a escolha.

Na primeira vez o prêmio está na A, ele muda e perde.

Na segunda vez o prêmio está na B. A porta C é descartada e ele muda da A para a B e ganha.

Na terceira vez o prêmio está na C. A porta B é descartada e ele muda da A para a C e ganha.

Então ele tem chances de vencer duas em três, sempre mudando a porta.

Conclusão. Mudar a porta dobra as chances de vencer, de 1/3 para 2/3.

[Felius]

Ele tem 1/3 de chances de vencer enquanto são tres portas.
Quando se elimina uma das falsas, as chances sobem para 50% em ambas as portas restantes.
As chances de ele escolher a certa de primeira é 1/3. Mas tirando uma delas, as probabilidades mudam. É como se ela nunca estivesse ali.

[Hold the Door]

Você está raciocinando de forma errada, releia minha resposta.

Uma outra forma de ver isto é considerar o seguinte. Se ele não mudar de porta, as chances de escolher a certa inicialmente são de 1/3.

Se ele mudar de porta, ele ganha sempre que inicialmente escolher a porta errada, ou seja chance de 2/3.

[n/a]

Tente perceber que a escolha do apresentador não é aleatória, Felipe. Ele segue uma linha lógica e, de certa forma, previsível.

[Felius]

Sim, não sendo aleatoria então o que muda é que na pratica ele só tem duas escolhas. Uma certa e uma errada.
Exemplificando para facilitar
Ele tem Opção de Escolher "A", "B" ou "C"
As chances de qualquer uma é 1/3
Atras de uma tem um burro, atras de outra tem um ponei e atras da ultima tem uma ferrari, com uma loura escultural ao lado junto com um milhão de dolares.
Ele escolhe uma das portas e antes de abrir a porta o apresentador abre uma porta e ali esta o burro. Qual a chance dele ter escolhido a ferrari ou o ponei?

[Hold the Door]

Releia o que eu escrevi.

O ponto é que quando ele muda de porta, ele sempre ganha quando a escolha inicial é a errada. Ou seja, suas chances são de 2/3, o dobro de não mudar de porta.

[Eleitor de Mário Oliveira]

Imagine um daqueles jogos de tv onde um jogador escolhe uma porta da qual pode ou não sair um prêmio. Diagamos que hajam 3 portas e o jogador escolhe a nº 3.
O apresentador faz aquele floreio habitual, pergunta se ele não quer mudar de porta etc. O apresentador então fala "ok, você escolheu a nº3, mas vejamos o que há atrás da nº1". Ao abrir, desta sai um bode.
Então o apresentador pergunta "Quer continuar com a porta nº3 ou quer mudar para a nº2?"

Questão: Se o jogador mudar de porta, a probabilidade dele conseguir o prêmio é:

a) a mesma do que manter a opção.
b) menor do que se manter a opção.
c) maior do que se manter a opção.

Por mais intuitiva que seja a resposta "a", tem quem diga que a resposta certa é a "c".

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

http://en.wikisource.org/wiki/Monty_Hall_problem





Mas há controvérsias:

http://www.ipv.pt/millenium/Millenium24/14.pdf

[Felius]

Continuo mantendo meu ponto.
Fora que esse gráfico ai ta muito não claro. Tem que considerar caso por caso, juntar os casos não da certo.
Vamos la:
Vou chamaro jogador de Pc, e o apresentador de DM pra facilitar (sim, não tenho vida)

Primeira escolha do pc, 1/3 de chances para cada uma.
Se ele escolher o Goat um, o Dm vai escolher o Goat 2. Uma unica chance.
Então ele fica com chances de 1/3 para escolher o carro e 1/3 para escolher o goat 1 e 1/3 foi retirado. Na pratica ele esta com 50% de chances de escolher qualquer um dos dois.
Mesmo para o Goat 2

Agora se ele escolhe o carro inicialmente, o host pode escolher qualquer um dos dois goats. metade para cada. Ok.
Agora cada porta tem 50% de chance de ter o carro. O negocio é que tem que considerar somente a ultima linha. Sem as chances la. Ai da pra calcular as chances de quanto vai ser em cada.

[Eleitor de Mário Oliveira]

O que eu acho estranho é: por que no diagrama de Venn, a porta 1 está unida com a porta 2? Parece arbitrário isto. Se estivesse unida à porta 3, a resposta seria que a maior probabilidade de encontrar o carro seria mander a mesma porta.

[ThePlaceboBoy]

Eureka!, a revista oficial da Olimpíada Brasileira de Matemática, tal como eu havia citado, apresenta o referido problema de Monty Hall e explica, ainda que intuitivamente, sua solução.

Favor conferir a análise da questão no PDF disponível em
http://www.obm.org.br/eureka/eureka1.pdf
página 41 de um total de 61 páginas.

Sobre a obm:

"O programa de Olimpíadas de Matemática existe no país há 19
anos. Sempre foi pequeno e dedicado a encontrar jovens talentos para a
Matemática ou para ciências afins e, neste aspecto, cumpriu sua finalidade.
Temos hoje brilhantes matemáticos e cientistas de renome mundial que
tiveram origem nas Olimpíadas de Matemática."

Abraços.