Tópico: 0,999999999... = 1?

[Atomic Garden]

Bom, vi isso na internet:

0,999999999... = 1?

1)

x = 0,99999...
10x = 9,999...
----------------
9x = 9
x=1=0,9999...


2)

0,999...= 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
=9/10 + 9/100 + 9/1000 + ...
= 9(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...)

O termo em parenteses e' uma PG infinita cujo primeiro termo e' 1/10 e cuja razao e' tb 1/10

A formula da soma e' S = 1/10 (1/(1-q)),
ou S = 1/10 * 10/9 = 1/9

Voltando `a primeira equacao, temos entao

0,999... = 9*(1/9) = 1

3) (o mais logico pra mim)

Um dos argumentos mais simples usados para validar a hipóteses de que 0,999...=1 é o fato de não existir um número real entre eles. Assim, se não há nenhum número entre eles, os dois coincidem.

4)

1/3 = 0,3333333...
3*(1/3) = 3*(0,33333...)
1 = 0,999999...

[Alenônimo]

Cada coisa estranha, não? Será que é verdade isso tudo?

[Rodion]

1)

x = 0,99999...
10x = 9,999...
----------------
9x = 9
x=1=0,9999...

10x = 9,999...
então parece que subtrai-se o 0,99999.
neste caso, ficaria 9,111111...x=9

3) (o mais logico pra mim)

Um dos argumentos mais simples usados para validar a hipóteses de que 0,999...=1 é o fato de não existir um número real entre eles. Assim, se não há nenhum número entre eles, os dois coincidem.

sei não... 0,9999 não é igual a 1, aproxima-se por fins práticos.

[Snake]

sei não... 0,9999 não é igual a 1, aproxima-se por fins práticos.

É sim. Outra forma de provar (na verdade é a mesma coisa da 4 mostrada acima, mas de maneira mais clara):

0,999... = 0,333... *3
0,333... = 1/3
0,999... = 1/3 *3 (substituição)
0,999... = 3/3
0,999... = 1

[Esperto]

isso á foi postado umas duas vezes na str (que deus a tenha)

[Alenônimo]

isso á foi postado umas duas vezes na str (que deus a tenha)

Qual consenso chegaram? Erros de cálculos propositais?

[Esperto]

isso á foi postado umas duas vezes na str (que deus a tenha)

Qual consenso chegaram? Erros de cálculos propositais?

não, a dizima 0,99999... é igual a 1

[Osias]

0,9999999999999999 é diferente de 0,9999999999999999...

[n/a]

Na verdade 0,33333333333333... é uma aproximação para 1/3, não?

Mas me lembro de alguma aula de matemática há alguns anos onde provava-se que eram iguais, mas não lembro mais detalhes...

[Esperto]

Na verdade 0,33333333333333... é uma aproximação para 1/3, não?

Mas me lembro de alguma aula de matemática há alguns anos onde provava-se que eram iguais, mas não lembro mais detalhes...

não, a dízima não é aproximação, mas se vc parar de representar o número antes do infinito será aproximado

[Jasig Aurumalfa]

Antes que comece algumas viajens...

0,33333... é 1/3 sim...

Uma dízima periódica simples é colocada como um número sobre nove...

9/9 = 1... e não tem outra...
É mais fácil dizer que não existe 0,99999999999... mas o número 1 só, então 0,9999999... não se aproxima de 1, e sim é o próprio número 1...

Isso não é viajem é matemáticamente comprovado, está em qualquer apostila.

[Alenônimo]

Sabe o que acontece? A dízima peródica do 0,999... não existe. A do 0,333... e a do 0,666... existem.

Somar 0,333... e 0,666... dá 1, e não 0,999... Dízima periódica é apenas uma representação decimal de frações. As verdadeiras fórmulas são 1/3 e 2/3 que, se somadas, dão 3/3. E 3/3 é 1.

[Jasig Aurumalfa]

É isso aí Alê, desse jeito quie acontece...

[Snake]

Na verdade, 0,999... é uma forma diferente de se chamar 1. Essas formas diferentes são as que geralmente pegam os mais desavisados no vestibular.

[Fabulous]

0,9 não é igual a 1. Então 0,99999999999999999 também não... já que são milhares de 9 a frente... mas não vai ser igual a 1,0000000000000000000...

Sabendo disso...

Então,  0,9 elevado a uma potência é mais próximo de 1 do que esse 0,999999999999999...

[Luis Dantas]

Não, Fabulous.

0,9999... (com as reticências) significa infinitos noves.  Literalmente infinitos, não apenas milhares ou googolplexos.

Ou seja, é um número infinitamente próximo de 1.  É, de fato, uma outra notação para 1.



Quanto à potência de 0,9  acho que você se enganou.  Veja, 0,9 ao quadrado é 0,81.  Ao cubo, 0,729.

Para números menores do que 1, elevar a uma potência maior do que um resulta em um número menor ainda.

[Fabulous]

Obrigado pela explicação Luis Dantas.

[FxF]

Na verdade, Dantas, eu diria que não. Uma dízima, como 10/3 = e,333... não é um resultado inteiramente preciso.

No caso desse resultado obtido através de uma divisão: 10/3 = 3, como 3 não é 10, complementasse com um 0,X, no caso 0,3, e depois mais 0,0X, e assim infinitamente. É uma tentativa de obter o resultado, mas sempre termina com um 3 que precisa de outro 3...

tenta infinitamente chegar a 10/3, mas nunca o faz de fato, não há algoritmo que represente essa diferença. Um número infinito não pode ser representado ao meu ver.

[Luis Dantas]

No caso desse resultado obtido através de uma divisão: 10/3 = 3, como 3 não é 10, complementasse com um 0,X, no caso 0,3, e depois mais 0,0X, e assim infinitamente. É uma tentativa de obter o resultado, mas sempre termina com um 3 que precisa de outro 3...

De fato, sempre precisa de outro 3.  Acontece que esse outro 3 sempre é fornecido.  Por isso a dízima se estende ao infinito.

tenta infinitamente chegar a 10/3, mas nunca o faz de fato, não há algoritmo que represente essa diferença. Um número infinito não pode ser representado ao meu ver.

0,333... é uma representação de um número infinitamente "largo".  Mais tecnicamente, de um número com um número infinito de casas decimais.

é uma representação de um número infinito.

[FxF]

Sim, mas fornecer sempre o 3 não torna o número 1/3, só chega perto.

[Luis Dantas]

Sim, mas fornecer sempre o 3 não torna o número 1/3, só chega perto.

Torna sim.  Chega tão perto quanto necessário, para QUALQUER fim. Inclusive fins teóricos.

[Fenrir]

Nao li tudo nao, mas

Isto nao teria a ver com a Analise Nao-Standard de Abraham Robinson?

Tipo (1/3)*3 = 1 - sblebous

e sblebous um numero infinitamente pequeno, como o residuo nao-standard ds processos de derivacao e dos limites?

[Luis Dantas]

Precisamente.

[Fenrir]

Precisamente.

Sério?

[Luis Dantas]

Bom, nunca ouvi falar dessa análise não-standard, mas a idéia é essa, sim.