Não sei nao... ainda tenho duvidas quanto ao .999... ser igual a 1.
Sim, se variarmos a base numerica, um numero exato pode virar uma dízima.
Só o que muda é a representação, mas ainda é o mesmo número. Em base 3 o número 3 é escrito (10)
3, logo 1/3 = (1/10)
3 e 0,3333... = (0,1)
3. Ainda é o mesmo número, só que um pouco mais elegante.
Por exemplo, decimais exatos podem virar dízimas ao serem convertidos para binario.
Isto, creio, provoca alguma perda de precisao ao se manipularem, num computador, numeros representados em binário.
Isso só acontece porque há uma quantidade finita de memória disponível, não pela natureza do sistema binário de numeração. Seu computador usa 64 bits para representar números em dupla precisão, 1 bit é para o sinal, 11 são para o expoente e 52 para a mantissa. Se ele tivesse infinitos bits poderia armazenar dízimas e números irracionais exatamente.
Por favor, recorde a forma como convertemos numeros de uma base para a outra: não precisamos fazer sucessivas divisoes de um numero numa base pela base desejada ate sobrar um resto menor que a base? (se base dois, resto 1; se base 16, resto < 16...)
Ora, pois nao é justamente a divisão a causa do nosso problema: (1/3)*3 = ou <> 1 ???
São coisas diferentes, você está confundindo a representação de um número com seu valor. Fazemos divisões sucessivas apenas para escrever um número de uma base em outra, por exemplo, 14 em base 3 seria: 14/3
2 =
1, resta 5; 5/3
1 =
1, resta 2; 2/3
0 =
2, resta 0. encontramos a representação: 14 = (112)
3. Para frações as divisões continuam, mas com expoentes negativos nas bases, por exemplo, 2,625 em base 2 é 2,625/2
1 = 1, resta 0,625; 0,625/2
0 = 0, resta 0,625; 0,625/2
-1=1, resta 0,125; 0,125/2
-2 = 0, resta 0,125; 0,125/2
-3 = 1, resta 0. Logo 2,625 = (10,101)
2, zeramos o resto e com isso conseguimos uma representação exata. Se não conseguimos zerar o expoente, chegamos a uma dízima periódica.
Talvez em base 2 seja mais fácil demonstrar que 0,9999... = 1; ou melhor, que (0,1111...)
2 = 1; veja só:
1/2 em base 2 é 0,1
1/4 em base 2 é 0,01
1/8 em base 2 é 0,001
... e assim por diante,
ad infinitumVamos somar:
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... é uma soma infinita cuja solução é
Em binários a soma acima seria escrita como 0,1+0,01+0,001+... = 0,111... = 1.
O Calculo nao considera isto um erro, kboltz.
A nocao de limite e precisamente esta: numeros que podem se aproximar de outros tanto quanto se queira, que a imaginacao e a notação permitirem, no entanto permanecendo distintos daquele número de que se aproximam.
Voce tambem disse que entre .9999... e 1 nao tem nada.
Nao estou certo, pois pela continuidade da reta real, devem haver infinitos numeros entre um numero A e outro B assumindo A <> B.
Logo, para dizer que nao ha nenhum numero entre .9999... e 1 voce tem que provar antes que .9999 = 1 e nao inverter a coisa usando desta suposicao (nao ha nada entre .9999... e 1) para dizer que ambos sao iguais.
Você consegue imaginar um número finito que somado a 0,999... resulte em um número menor do que 1? Vejamos: imagine um número 0,000...001 onde no lugar dos três pontinhos há uma quantidade finita, mas arbitrariamente grande de zeros. A seguinte soma
0,000...001
0,999...9999...999...1,000...0009...999...
tem resultado maior do que 1, não importa quantos zeros você coloque entre os três pontos. Mas se você disser que há
infinitos zeros entre os três pontinhos...
Cara, eu posso querer imaginar uma coisa assim:
0.00000 .... mais uma quantidade de zeros igual ao Numero de Graham ... mais alguns zeros ..... 000001 entre .99999 e 1,
Então você precisa repensar o seu conceito de infinito, afinal, como é que você quer colocar
um fim em uma sequência que supostamente é
infinita? Não importa se seu número é "0.00000 .... mais uma quantidade de zeros igual ao
Numero de Graham ... mais alguns zeros ..... 000001", se ela acaba em algum lugar, no caso nesse solitário 1 aí, então esse número é finito. Infinito
não tem fim. Não existe um último número da seqüência, nem mesmo nas dízimas periódicas. Eu posso pegar esse número que você falou e conceber um menor do que ele simplesmente dividindo-o por dez. E se posso fazer isso, então certamente eu posso acrescentar mais infinitos noves depois desse 1 e somando seu número à dízima 0,999... ainda teremos um número maior que 1, exatamente como no caso explicado acima.
[/quote]um numero tao ridiculamente pequeno que nao de para representar em nenhuma notacao e que tenha que ser inventada alguma notacao para poder mostra-lo e tornar possivel operacoes com ele[/quote]
O problema é encontrar uma definição que faça sentido.
Lembre-se de que algumas propriedades matematicas que parecem contrariar o bom-senso.
Basta pensar em Georg Cantor e as coisas que ele descobriu
Agora você está parecendo aqueles quacks que dizem "Mas eles riram de Galileu!" Não existe polêmica nenhuma quanto a 0,999... ser igual a 1. Isso é fato. Tudo bem você não compreender e procurar se informar, ninguém sabe de tudo e é perguntando que se aprende. Mas tenha mais calma antes de tentar encontrar uma revolução conceitual onde não há.
Em toda a minha ignorancia matematica, chuto ou imagino se o 1 - .9999.... nao da um dos numeros
nao-standard do Abraham Robinson.
Ver em Non-standard analysis
Só se fosse possível encontrar um número 0,000...001 cuja soma fosse menor do que 1.
Talvez isto ajude a entender o que tenho em mente.
Por favor, leiam a secao History of the infinitesimal, reparem na definicao da derivada primeira de uma funcao,
na critica de Berkeley (há uma contradição na definição clássica da derivada!!!).
Vejam aqui tambem na secao Definition of derivative
Vou ler, já dou uma resposta.
Sei lá, viajando mais ainda, (e provavelmente estando ridiculamente errado, notaria um matematico) pode ser que no relevo dos graficos das funcoes considerados certos numeros esquisitos como o de graham ou os nao-standard apareca alguma coisa fractal, quantizada ou sei-la-eu o que.
Cara, você entende o que você mesmo está falando? Porque eu não entendi nada.
Finalmente, notem que este problema do .9999 = ou <> de 1 vai aparecer em Todas as dízimas periódicas:
(34/90990)*90990 = 34 ou 33.9999999.... ? e 34 = ou <> 33.9999999....
Sim, é isso mesmo! E repare que também podemos escrever 34 como uma dízima de zeros, 34 = 34,0000000000000000....
Oooops! Falha minha
Corrigindo.... O que eu tinha em mente era
com
e 1 - 0.99999... deve dar uma coisa ridiculamente pequena, portanto pensar em
com
Nao é muito diferente de pensar em
Não é?
Isso não é simplesmente o limite para 1/x com x tendendo a zero por valores positivos?
Sim.
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Naively speaking, non-standard analysis postulates the existence of positive numbers ε which are infinitely small, meaning that ε is smaller than any standard positive real, yet greater than zero. Every real number is surrounded by an infinitesimal "cloud" of hyperreal numbers infinitely close to it. To define the derivative of f in this approach, one no longer needs an infinite limiting process as with the standard calculus. Instead, one sets
<figura>
where st is the standard part function, yielding the standard real number infinitely close to the hyperreal argument of st. The addition of st to the formula resolves the centuries-old paradox already severely criticized by Bishop Berkeley, and provides a
rigorous basis to the approaches of both Isaac Newton and Gottfried Leibniz to infinitesimal calculus
Dantas, derive 1/x usando a expressao classica, com o h e o f(x + h) (lembra?)
Este incremento h, que descartamos depois é que é a parte não-standard dos numeros, o ε das linhas acima...
E o h parece a mim ser como o ε, como o 1 - 0.999999...
e o 1 - 0.999999... como o 0+ em:
Vem daí minha comparação!
O ε é um número finito, porém arbitrariamente pequeno. Ele não é um número em si, é somente uma abstração. Na definição da derivada, por exemplo, note que a razão
por si só não é a derivada, é uma diferença finita (que até é usada para aproximar derivadas em algoritmos de computador), é preciso tomar o limite com h tendendo a zero para encontrarmos a derivada.
Agora veja, o resultado de
, a igualdade é exata, nesse caso a função f(x)=1-x está definida em x=0 e o resultado do limite pode ser encontrado por mera substituição (quando isso é possível dizemos que a função é contínua), não é preciso invocar nenhum número esotérico quântico de Graham e sei lá mais das quantas.
