Sim, foi isso que eu quis dizer com associar um número escalar a uma matriz. Mas por que
|1 4| = -7
|3 5|
e não 13, ou 17, ou sei lá qual outro número?
Uma definição mais tangível:
Matrizes, a princípio, foram criadas como uma notação mais simples para lidar com sistemas de equações. Por exemplo, a matriz que você forneceu, é parte da representação do sistema:
x + 4y = 1
3x + 5y = 2
(Escolhi os valores 1 e 2 arbitrariamente, poderiam ser quaisquer outros);
Isso aí pode ser escrito como a seguinte multiplicação de matrizes:
Existem vários métodos de resolver um sistema de equações, vou te mostrar dois deles para ilustrar o significado do determinante.
Primeiro vamos resolver "na mão":
Igualando:
5-5x=8-12x
-3=-7x
Repare na equação marcada com um
, pois vamos voltar a falar dela depois.
Hmm... vejamos então um outro método para resolver o sistema, a regra de Cramer, que possivelmente você foi obrigado a decorar no ensino médio e consiste na seguinte receitinha de bolo:
1) Tire o determinante da matriz:
2) Substitua o vetor solução (isto é,
) na primeira coluna da matriz e tire o determinate:
3) Divida
por
para obter o valor de x:
4) Repita a operação para y (desta vez substituindo o vetor solução na segunda coluna).
Voltando agora ao nosso
, repare que do lado esquerdo da equação temos -3 e do lado direito temos -7. Esses números não são familiares para você? Ora, eles são o
e o
!
Percebe-se daí que o determinante tem um papel importante na resolução de sistemas de equações, de forma geral, se:
Então:
Uma possível interpretação para "o que é" um determinante é essa: Ele é o número que você "isola" quando resolve o sistema de equações que a matriz representa (se eu tivesse escolhido um vetor solução diferente de
,
seria diferente, mas
ainda seria o mesmo e o procedimento de dividir um pelo outro ainda seria válido.
Agora veja só que eu comecei o meu parágrafo acima com "uma possível interpretação". Ela não é a única. Outra forma que você pode entender o determiante é como o volume de um paralelepípedo cujos lados são representados por três vetores! Mas isso já é um pouco mais complicado de explicar, mas se você entrar para um curso de exatas verá isso logo no seu primeiro semestre em uma matéria chamada Geometria Analítica.
