jcatino, toda a demonstração matemática envolve símbolos, e o resultado independe do valor desses símbolos. (claro, e não estou dizendo nada em contrário ou diferente). Mas (pelo menos é o que eu sei até o momento) qualquer teorema é formado por uma cadeia argumentativa que, se for "rastreada" ao passado, desembocará em premissas, axiomas ou postulados, que são enunciados aceitos sem demonstração.
Um sistema axiomático (como a geometria euclidiana) procura listar de forma clara e sistemática no papel TODAS as premissas e pressupostos que serão utilizados nas demonstrações dos teoremas. Nada "intuitivo" ou "implícito" deve entrar na demonstração. Qualquer pressupostozinho besta que você imaginar deve ser listado. Um exemplo:
Na demonstração de que a soma dos ângulos internos de um trângulo qualquer é sempre 180°, é traçado uma linha em um vértice C paralela ao lado oposto a esse vértice. Forma-se assim 2 ângulos externos E1 e E2, com C no meio. E1, E2 e C juntos formam um ângulo raso (180°). Como E1 e E2 são respectivamente iguais aos outros dois ãngulos A e B por serem alternos internos, então faz-se a seguinte dedução:
Se E1 + E2 + C = 180°
Se E1 =A e E2 = B
Então A + B + C =180°
Agora vem o importante: essa última dedução parte de uma premissa bem besta: "Se duas coisas são iguais a uma terceira, então elas são iguais entre si". Só se aceitarmos esse axioma como verdadeiro podemos dizer que essa última transformação é válida.
Vemos então que sempre há axiomas e postulados envolvidos em qualquer tipo de dedução ou "raciocínio" que for desenvolvido. A axiomatização consiste justamente em se listar TODOS esses postulados (mesmo os mais triviais dos triviais dos triviais) no papel de forma clara, e mostrar como, a partir deles, se acham os demais teoremas.
Toda a geometria euclidiana está contida nos axiomas e postulados que ele listou. O papel dele foi só evidenciá-los.
